高等代数基础习题答案.doc

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1、第一章多项式§1数域一填空题1.加法、减法、乘法;2.加法、乘法;3.加法、减法、乘法.二判断题1.(T);2.(F)三、解答题1.证明显然.对任意的,=+;.当时,.故对加法减法乘法除法封闭.即是数域.2.证明因为,.即对乘法不封闭.所以不是数域.3.证明由于任意数域都包含有理数,故也包含有理数域,从而包含有理数域.令,则,.由于是数域,故,;当时,,所以.即是数域.例如:取=,,容易验证不一定是数域;取=,,显然=是数域.§2一元多项式一填空题1.,,,;2.(i),(iii)(v);3.0,非零常数;4..二判断题1.(F);2.(F)

2、.;3.(F).三解答题1.解因为.利用多项式相等的定义的:(i)(ii)(iii)即(i)当时,为零次多项式;(ii)当时为零多项式;(iii)时是一次多项式.2.证明设,,则的第次项系数为=0,当得,当时得,进而,同样地,得到…….因此§3整除的概念一填空题1.,,,,,,,,;2.,.二判断题1.(F);2.(T);3.(F);4.(F);5.(F)三解答题1.解利用带余除法得,所以,即.2.证明,利用整除性的性质,我们有,即.3.证明若,不整除与则存在常数,使,所以,由于,所以,得出矛盾.即不能整除证明由于三次单位根都是的根,即的根都

3、是的根.从而.4.证明因为其中是三次单位虚根,而,即,再利用互素得到,即5.证明①如果,因为,由整除性性质得:,即,与矛盾,所以.§4最大公因式一、填空题1.零次多项式;2.零多项式;3.多项式为零次多项式;4.,为零次多项式;5.;6.互素.二、判断题1.F;2.F;3.F;4.T;5.F;6.F.二、解答题1.解:通过辗转相除法求得,.2.证明:设,容易证明是的公因式;对的任意公因式,容易证明它是的公因式,从而它整除于的最大公因式.即的任意公因式整除于它的公因式,所以是的最大公因式.3.证明:,,则存在与,使,,以上两式相乘容易得到,故.

4、反过来若,则存在,使,若令,则有,故,同样的若令,则有,故.4.证明:首先利用上题及归纳法容易证明,若,,同样的利用归纳法证明.§5因式分解定理一、填空题1.;2.不整除于;3.不可约,不可约,可约;4.;5.1.二、判断题1.T;2.F;3.F.三、解答题1.解在有理数为不可约多项式,因此在有理数的分解式为其本身.在实数域:在复数域上:.2.证明:若不可约,由,则或.若成立,又(+),所以,则成立;同样地若成立利用(+)得到成立.总之有与同时成立.若可约,上述结论不成立.事实上取则且(+),但即不整除也不整除.3.是不可约多项式.证明如下:

5、若可约,则存在,使,利用题设可以得出(,)=1或者,而事实上,这两种结果都不能成立.因此可约的假设不正确.4.证明:必要性.设(为不可约多项式),显然对任意的,若,则,若,则,即存在正整数,使.充分性:设,取,则(,)=1不成立,且对任意正整数,不成立.故不成立.即是不可约多项式的方幂.§6重因式一、填空题1.,与,4与3;2.;3.;4.;5..二、判断题1.F;2.T;3.F.三、解答题1.解:(1)利用辗转相除法容易求出,所以=无重因式.(2)同(1).2.解:容易计算,所以是的二重因式,又,故=.1.证明:,.故无重因式.4.解:显然

6、当时,有三重因式,当时无重因式;当时,当时,,有二重因式.§7多项式函数一、填空题1.零多项式;2.-12,0(二重),3,-1,0,2;3.;4.是的根;二、判断题1.F;2.F;3.F;4.T.三、解答题1.解利用拉格朗日插枝公式2.证明:,所以=1.所以无重根.§8复数域与实数域上多项式的因式分解一、填空题1.一次多项式,一次与部分二次不可约多项式;2.;3.2,;4.,.二、解答题1.解:在复数域上,在实数域上.2.证明:若无实根,则该多项式全是虚根,而实系数多项式的虚根成对出现,因此与多项式是奇数次的矛盾.1.证明:首先多项式的最大

7、公因式不因数域的扩大而改变.因此若在实数数域上不能整除于,则无论在实数数域还是复数域均有而事实上在复数域上不成立.因此在实数域上整除于.§9有理数域上多项式一、填空题1.1,1或2,任意正整数;2.可能可约也可能不可约;3.二、判断题1.T;2.F(若是非零多项式正确);3.T.三、解答题1.解:;2.解:,取,利用Eisenstien判别法即得不可约;,令,则,取,利用Eisenstien判别法即得不可约,从而不可约;,令,则,取利用Eisenstien判别法即得不可约,从而不可约.3.解:的所有可能根是:,因为的各项系数之和不等于0,奇次

8、项系数之和等于0,所以-1是根,1不是根.容易利用综合除法验证都不是根.1.证明:因为无有理根,而是的根,因此它不是有理数,从而是无理数.§10多元多项式一、填空题

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