九年级数学平面几何中的定值问题例题讲解.doc

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1、九年级数学平面几何中的定值问题例题讲解知识点，重点，难点所谓定值问题，是指按照一定条件构成的几何图形，当某些几何元素按一定的规律在确定的范围内变化时，与它有关的某种几何量却始终保持不变（或几何元素间的某种几何性质或位置关系不变）。平面几何定值一般可分为两类：一类是定量问题（如定长度、定角、定比、平方和或倒数和为定值等）；一类是定形问题（如定点、定线、定圆或弧、定方向等），它们有共同的基本特点，即给定条件中一般由固定条件和变动条件两部分组成。一般来说，求解定值问题的方法有：图形分析法。画出符合条件的图形后，分析图中几何元素的数量关系及位置关系，直接寻求出定值并证明。特殊位置法。不论图形如

2、何变动，定值这一共性始终不变，因此可选择图形的特殊位置（如极限位置、临界位置）加以探求。参数计算法。图形运动中，选取其中的变量（如线段长、角度、面积等）作为参数，将要求的定值用参数表出，然后消去参数即得定值。例题精讲例1：如图，已知⊙O及弦AB，P为⊙O上任一点，PA、PB分别交AB中垂线于E、F，求证：OE·OF为定值。分析若在⊙O上的点P运动到特殊位置点Q，则点E，点F都和Q点重合，于是得到OE·OF=OQ，由此可推想，该定值可能为⊙O半径的平方。证明因为OE是弦AB的中垂线，所以，所以∠AOE=∠BOE，所以又因为∠EPB=∠PAB＋∠ABP，所以∠AOE=∠EPB，所以A、O、

3、F、P四点共圆，所以∠OFB=∠OAE.又因为∠FOB=∠AOE，所以△FOB∽△OAE，所以即OE·OF＝OA·OB.因为OA=OB，所以OE·OF=OA（定值）。例2：如图，设AB、CD是圆O的两条定直径，P是圆周上的任一点，过P作AB垂线，过P作CD的垂线，其垂足分别为Q、R，DT⊥AB，垂足为T，求证：QR是定长。分析把点P沿⊙O运动到特殊的点D的位置，不难发现QR=DT，那么当P是圆周上的任一点时，只要证明QR=DT.证明设圆的半径为r，作RS⊥AB，连结OP.因为PQ⊥AB，PR⊥CD，所以P、O、Q、R四点共圆，所以∠RQS=∠OPR，所以Rt△OPR∽Rt△RQS，所以

4、=r·sin∠DOB=DT（定值）。例3：如图，已知△ABC、△ABD是在AB同侧的两个以AB为斜边的直角三角形，P是AB上的动点，但P不重合于A、B，求证：tan∠PCA·tan∠PDB是定值。分析因为P是AB上的动点，要考虑tan∠PCA·tan∠PDB是定值，需要把点P移动到特殊的位置，即取P为AB的中点时，tan∠PCA·tan∠PDB=tan∠PAC·tan∠DBP（定值）。证明过点P作PE⊥AC，垂足为E，过P点作PF⊥BD，垂足为F点。因为所以又因为EP⊥AC，∠ACB=90°，所以EP∥BC，得所以同理可得故=，即（定值）。例4：平面上有两个边长相等的正六边形ABCDE

5、F和A'B'C'D'E'F'，且正六边形A'B'C'D'E'F'的顶点A'在正六边形ABCDEF的中心。当正六边形A'B'C'D'E'F'绕A'转动时，两个正六边形的重合部分的面积必然是一个定值，这个结论正确吗？试证明你的判断。解两个正六边形的重合部分的面积是一个定值。证明如下：如图，重合部分的面积是一个定值。连结A'B、A'D，由A'为正六边形ABCDEF的中心知A'B=A'D=AB，∠A'BG=∠A'DH=60°.又当A'B'与A'B重合时，必有A'F'与A'D重合，故知∠GA'B=∠HA'D.在△A'GB和△A'HD中，≌故因此两个正六边形的重合部分的面积必然是定值。例5：由圆外

6、定直线上任意点引圆的两条切线，求证：两切点的连线必过一定点。分析设直线AA'为⊙O外定直线，A为此线上任一点．由A引两切线为AE、AF，E，F为切点，连结EF，应过某一定点。若A点运动到C点(OC⊥AA')的特殊位置，因图形的对称性判定点一定在OC上，而EF与OC的交点P可能就是此定点，如能确定OP的长，问题就解决了。证明如图，连结AO与EF交于B，连结OE.因为AO⊥EF，又因为∠OEA=90°，所以OE=OA·OB.又因为四边形ABPC中，对角∠ABF=∠PCA=90°，所以A、B、P、C四点共圆，所以OB·OA=OP·OC，OP·OC＝OE因为OE，OC均为定值，所以OP为一定值

7、，且OP在定直线OC上。所以不论点A在直线AA'上何处，弦EF恒过P点。例6：如图，A、B为两定点，O为一动点．在AB所在平面上异于O点的一侧取A'点及B'点，使∠OAA'=∠OBB'=90°，且BB'=OB，AA'=OA.设A'B'的中点为O'．（1）试问当O点在线段AB的一侧移动时，A'B'的中点O'，的位置将怎样变化？（2）请证明你的猜想。分析分别取O点的三个特殊位置：（1）在AB的垂直平分线上，且与AB相距AB的位置上；（2）在以A为垂