专题24平面几何的定值问题_答案

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1、专题24平面几何的定值问题例1延长PC至E,使CE=AP,连结BE,则厶BCE竺/BAP,及APBE为等腰直角三角形,故川+"="K、=巴=逅例2B提示:连结&C,BC,可以证明P为弘另PBPBPB的中点.例3TSP丄OP,0M丄ST,AS,M,0,卩以点共圆，于是ZSPM=ZSO〃=丄2ZSOT为定角•例4⑴连结0C交DE于M,则OM=CM,EM=DM,而DG=HE,则HM=GM故四边形OGCH是平行四边形.(2)DG不变.DE=0C=0A=3.DG=-DE=-X3（第8题图）=1.⑶设CD=x,延长0G交CD于N,则CN=DN=-x,2I33CE1=9-%2,DN2=-

2、x1.ON1=9--x2,而0N=-442CH,:.CH2=4--%2.故CD2+3CH2=x2+3(4--x2)=x2+12—X?为定值.例5(l)C(O,4)⑵先求得AM=CM=5,连接MC交AE于N,由△AOGs△ANM,得—=—,OG=-,MNAN2-=—=又ZBOC=ZGOM,•••△GOMsHOB,ZGMOOCOB8=ZCB。，得MG//BC.⑶连结M则如丄PD,001PM,Dis0P=-,动点F在皿的圆周上运动时，从特殊位置探求等的值.当F与点A重合时,当点F与点B重合时,当点F不与点A,BOF_AO_2^3PF~^?_16_9_5；OF=0B二8二3PF~16

3、+8_5；3重合时，连接。F、PF、MF,.^=M0-MP.即需=帶,又如5P,：S*PF,齐罟=

4、，故等的比值不变，比值为

5、・例6ZBPC=120°,在ABPC中，由余弦定理得BC2=PB?+PC2—2PB・PC=BC2,又由上托勒密定理得BC^PA+PC^AB,而AB=BC=&C…••网=pb+pc,从而％?+pg2+PC2=(PB+PC)2+PB2+PC2=2(PB2+PC2+PB9PC)=2BC2=2X(V3)?=6.故PA2+PB2+PC2为定值.A级

6、1.4提示：V5i+5阴=S2+S阴=xy=3,.S1+S2=2xy—2S阴=6—2=4.2•27>/3提示：1

7、+3+5=9是等边三角形的高.3.r2提示：先考查OB与OA垂直的t青形.4.D提示：延长BF交DE于点M,连接BD,则ABCD为等边三角形，BF平分ZCBD.TF为CD44点，且AD//CE,:./ADF与AECF关于点F屮心对称.・CE=AD=CD,.*.ZCEM=30°,ZDMF=60°,5.D提示：A®的中点均在G)0的上半圆的中点处.6.B提示：SsEM0cAD=OD9OC=xAOyA=k=6f.9.S0EBF=0E*0F=xB*yB=k=6.7.⑴略⑵当点P在G)O内时，过P作直径CD,则PE・PF=PD・PC=/-op2为定值；当点p在00外时,

8、PE・PF为定值

9、0P一r2

10、•结论:过不在圆上的一个定点任作一条直线与圆相交，则这点到直线与圆相交点的两条线段长的积为定值.&(D-⑵22.5。(3)P值无变2化.理由如下：如图，延长弘交y轴于E点，可证明△OAE竺、OCN,得OE=ON,AE=CN,又ZMOE=kMON=45°,OM=ON,：・50ME竺压0MN,得M//=ME=&M+&E=&M+C//.二P=MN+BN+BM=AM+CM+CN+BN+BM=AB+AC=4.9・(l)0

11、K=BK・DK,得AK2+于Q，连接&0,贝*(BK-DK)+*(CK+AK)]BK2+CK2+DK2=^R2为定值.⑵作直径DE,连接&E,BE,CE,^B2+CD2=4R2,AD^BC2=4R2,故AB1+BCl+CD1+DAl=ZK2-为定值.11.设正方形的边长为Q,根据托勒密定理，对于四边形APBC和四边形APBD,有CP・a=AP・a+BP・殛,DP・ct=BP・a+AP•殛,两式相加并整理得(CP+QP)iP+BP)(a+购)，从而當1为定值.(第1题图)

12、B级

13、1.1提示：不妨设ZA为锐角，AD,BE,CF为/MBC的三条高，H为垂心，由AB=AC^ZHBD=

14、ZHCD=ZHAE.ZHDC=ZCDA=1.(iA}11、-BCAD•-BCHD1.2J<2丿=90。,故RtSDsRd。••嗟=甥，即AD•心D宀期90°时，结论成立.2・13/1-26提示：TA，B,C,DE是反比例函数y=-(x>0)图彖上五个整数点，由图彖可知，这些点的横坐标分别X总和是22(为心卜冈-7TX22--X2X2U2+2x4x4=5tt—10+8tt为1,2,4,8,16./.五个正方形的边长分别为1,3,4,2,1・二这五人橄榄形的面积-16=13tt-26・3.B提示：如图，设F