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1、专题25平面几何的最值问题阅读与思考几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量（如线段长度、角度大小、图形面积）等的最大值或最小值.求儿何最值问题的基本方法有：1.特殊位置与极端位置法：先考虑特殊位置或极端位置，确定最值的具体数据，再进行一般情形下的推证.2.几何定理（公理）法：应用几何中的不等量性质、定理.3.数形结合法等：揭示问题中变动元素的代数关系，构造一元二次方程、二次函数等.例题与求解【例1】在RtZUBC中，CB=3,CA=4,M为斜边上一动点.过点M作丄/C于点过M作
2、仏丄CB于点E,则线段DE的最小值为.（四川省竞赛试题）解题思路：四边形CDWE为矩形，连结CM,则DE=CM,将问题转化为求CM的最小值.【例2】如图，在矩形ABCD中，M=20cm,BOlOcm.若在/C,4B上各取一点M,N,使BM+MN的值最小，求这个最小值.（北京市竞赛试题）解题思路：作点B关于/C的对称点夕，连结夕力，则BM=BM从而BM+MN=要使BM+MV的值最小，只需使夕M十MN的值最小，当F,M,N三点共线且FN丄M吋，BWMN的值最小.【例3】如图，已知LJABCD,AB=a,BC
3、=b（a>b）,P为力3边上的一动点，直线DP交的延长线于0.求AP+BQ的最小值.（永州市竞赛试题）解题思路「设如Xx，把4P,BQ分别用x的代数式表示，运用不等式以/+62>lab或a+b>24ab(当且仅当—b时取等号)来求最小值.【例4】阅读下列材料：问题如图1,一圆柱的底面半径为5dm,高为5dm,BC是底面直径，求一只蚂蚁从/点出发沿圆柱表面爬行到C点的最短路线.小明设计了两条路线：沿AB剪开摊平如图2所示.路线1：侧面展开图中的线段/C.设路线/的长度为/i，则+BC2=25+(5^)2=
4、25+25/.路线2：高线AB十底面直径BC.如图1所示.设路线/的长度为/2，则11=(BC+M)2=(5+1O)2=225.V/i2-/22=25+25^-225=25^-200=25(^-8),Al>/22,・*.lx>l2.所以，应选择路线2.(1)小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱的底面半径为1分米，高力3为5分米”继续按前面的路线进行计算.请你帮小明完成下面的计算：路线1：1^(^=；路线2：l?=(4B+BC)2=.J/
5、2I?,.*./)12(填“〉”或y"),所以应选择
6、路线(填“1”或“2”)较短.(2)请你帮小明继续研究：在一般悄况下，当圆柱的底面半径为厂，高为方时，应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点力出发沿圆柱表而爬行到C点的路线最短.(衢州市中考试题)解题思路：本题考查平面展开一最短路径问题.比较两个数的大小，有时比较两个数的平方比较简便.比较两个数的平方，通常让这两个数的平方相减.【例5】如图，已知边长为4的正方形钢板，有一个角锈蚀，其中AF=2,BF=.为了合理利用这块钢板，将在五边形以BCD内截取一个矩形块MDNP,使点P在上，且要求面积最大，求钢板
7、的最大利用率.(中学生数学智能通讯赛试题)解题思路：设PN=y,则建立矩形MDVP的面积S与x的函数关系式，利用二次函数性质求S的最大值，进而求钢板的最大利用率.【例6】如图，在四边形ABCD中，AD=DC=,ZDAB=ZDCB=90。,BC,力。的延长线交于戸求ABS&ab的最小值.（中学生数学智能通讯赛试题）ARPA解题思路：设PD=x{x>）,根据勾股定理求IBPC,证RtAPCDsRt△刃3,得到一=一，求出CDPCAB,根据三角形的面积公式求出尸ABSsb，整理后得到夕$4,即可求出答案.
8、能力训练A级1.如图，将两张长为8、宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形.容易知道当两张纸条（烟台市中考试题）垂直时，菱形的周长有最小值，那么菱形周长的最大值是2.D是半径为5cm的OO内一点，且OD=3cm,则过点0的所有弦中，最短的弦cm.（广州市中考试题）3.如图，有一个长方体，它的长BC=4,宽AB=3,高BB{=5.一只小虫由/处出发，沿长方体表面爬行到G，这时小虫爬行的最短路径的长度是•（“希望杯”邀请赛试题）第1題图第4题图1.如图，在厶ABC中，MB=10,AC=S,BC=6,经过
9、点C且与边MB相切的动圆与CBCM分别相交于点&F,则线段EF长度的最小值是（）（兰州市中考试题）A.4a/2B.4.75C.5D.4.85•如图，圆锥的母线长0/1=6,底面圆的半径为2.—小虫在圆锥底面的点力处绕圆锥侧面一周又回到点力，则小虫所走的最短距离为（A.12B.4tt）（河北省竞赛试题）C.6^2D.673〃分别在射线OM,ON上移动，当6.如图，已知ZMON=40。，P是AMON内的一定点，点儿'PAB周长最小时，ZAPB的
