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时间:2020-12-07
《2021届高考数学圆锥曲线中必考知识专题4 圆锥曲线的面积问题(解析版).doc》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、专题4:圆锥曲线的面积问题(解析版)一、单选题1.已知是椭圆的两个焦点,是椭圆上一点,且,则的面积等于()A.24B.26C.D.【答案】A【分析】由椭圆的定义可得,,,由勾股定理可得,即可得解.【详解】由题意,椭圆,所以,所以,又,所以,因为,所以,所以,故的面积.故选:A.【点睛】本题考查了椭圆定义的应用,考查了运算求解能力,属于基础题.2.已知抛物线的焦点为,点在抛物线上,且,点为抛物线准线与其对称轴的交点,则的面积为()A.B.C.D.【答案】D【分析】先由抛物线的方程得到焦点坐标和准线方程,进而求出点的坐标,再由定义求出点31原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究!P坐标,结合三角
2、形面积公式可得出结果.【详解】因为,所以其焦点,准线为,所以设,由得,所以,所以,则.【点睛】本题主要考查抛物线的简单性质,属于基础题型.二、解答题3.已知动点与平面上两定点、连线的斜率的积为定值.(1)求动点的轨迹的方程;(2)若,过的直线交轨迹于、两点,且直线倾斜角为,求的面积.【答案】(1);(2).【分析】(1)设点,则依题意有,化简可得所求轨迹方程;(2)由题意可得直线的方程为:,再与椭圆方程联立方程求出交点坐标,从而可求出的面积为.【详解】(1)设点,则依题意有,整理得,由于,所以所求动点的轨迹的方程为:.(2)直线的斜率,故直线的方程为:,31原创精品资源学科网独家享有版权,侵权
3、必究!与椭圆方程联立,消去得:,∴或.∴的面积为.【点睛】此题考查轨迹方程的求法,考查直线与椭圆的位置关系,考查计算能力,属于基础题4.已知椭圆,点是椭圆C上一点,离心率为.(1)求椭圆C的标准方程;(2)直线l:与椭圆C相交于A,B两点,且在y轴上有一点,当面积最大时,求m的值.【答案】(1);(2).【分析】(1)根据点是椭圆C上一点,离心率为,由,且求解.(2)先求得到直线l的方程为的距离,再将直线代入椭圆方程,结合韦达定理,利用弦长公式求得,再利用求解.【详解】(1)由题意可得,且,,解得,,则椭圆的方程为;(2)由直线l的方程为,则到直线l的距离,31原创精品资源学科网独家享有版权,
4、侵权必究!将直线代入椭圆方程可得,由判别式,解得,设,,则,,由弦长公式可得,,,,,,,,当且仅当时取得等号.即当面积最大时,m的值为.【点睛】思路点睛:1、解决直线与椭圆的位置关系的相关问题,其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立,消元、化简,然后应用根与系数的关系建立方程,解决相关问题.2、设直线与椭圆的交点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),则弦长公式为,(k为直线斜率).31原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究!注意:利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的,不要忽略判别式大于零.5.已知椭圆E:()的左焦点为,过F的直线交E于A、C两点,的中点坐标为.(
5、1)求椭圆E的方程;(2)过原点O的直线和相交且交E于B、D两点,求四边形面积的最大值.【答案】(1);(2).【分析】(1)设,,分别代入椭圆方程作差,结合平方差公式和直线的斜率公式、中点坐标公式,可得a,b的关系,再由a,b,c的关系,解方程可得a,b,进而得到所求椭圆方程;(2)求得直线的方程,联立椭圆方程,可得A,C的坐标.设,,且直线的斜率存在,设方程为(),联立椭圆方程,可得B,D的横坐标,则,(,分别表示B,D到直线的距离),运用点到直线的距离公式和换元法、基本不等式可得所求最大值.【详解】解:(1)设,,可得,,两式相减得,将,代入上式,即,,31原创精品资源学科网独家享有版权
6、,侵权必究!又,即有,,则椭圆E的方程为;(2)直线AC的方程为,联立,解得或,,设,,且直线的斜率存在,设方程为(),联立,得,则,设,分别表示B,D到直线的距离,所以,令,则,故,当且仅当,即,时,四边形的面积取得最大值.【点睛】本题考查椭圆方程的求法,考查椭圆中四边形面积的最值问题,属于较难题.6.已知椭圆的左,右焦点分别为,,离心率为,且.31原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究!(1)求椭圆的方程;(2)设椭圆的下顶点为,过右焦点作与直线关于轴对称的直线,且直线与椭圆分别交于点,,为坐标原点,求的面积.【答案】(1);(2).【分析】(1)依题意得到方程,即可求出、,再根据,即可
7、求出,从而得解;(2)由题可知,直线与直线关于轴对称,所以,即可求出直线的方程,联立直线与椭圆方程,设,,即可求出、的坐标,从而求出,再利用点到直线的距离公式求出原点到直线的距离,最后根据计算可得;【详解】解:(1)由题得,,解得,因为,所以,所以椭圆的方程为.(2)由题可知,直线与直线关于轴对称,所以.由(1)知,椭圆的方程为,所以,,所以,从而,所以直线的方程为,即.联立方程,解得或.设,,不
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