2021届高考数学圆锥曲线中必考知识专题4 圆锥曲线的面积问题（解析版）.doc

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1、专题4：圆锥曲线的面积问题（解析版）一、单选题1．已知是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且，则的面积等于（）A．24B．26C．D．【答案】A【分析】由椭圆的定义可得，，，由勾股定理可得，即可得解.【详解】由题意，椭圆，所以，所以，又，所以，因为，所以，所以，故的面积.故选：A.【点睛】本题考查了椭圆定义的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.2．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，点为抛物线准线与其对称轴的交点，则的面积为()A．B．C．D．【答案】D【分析】先由抛物线的方程得到焦点坐标和准线方程，进而求出点的坐标，再由定义求出点31原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！P坐标，结合三角

2、形面积公式可得出结果.【详解】因为，所以其焦点，准线为,所以设,由得，所以，所以，则.【点睛】本题主要考查抛物线的简单性质，属于基础题型.二、解答题3．已知动点与平面上两定点、连线的斜率的积为定值.（1）求动点的轨迹的方程；（2）若，过的直线交轨迹于、两点，且直线倾斜角为，求的面积.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）设点，则依题意有，化简可得所求轨迹方程；（2）由题意可得直线的方程为：，再与椭圆方程联立方程求出交点坐标，从而可求出的面积为.【详解】（1）设点，则依题意有，整理得，由于，所以所求动点的轨迹的方程为：.（2）直线的斜率，故直线的方程为：，31原创精品资源学科网独家享有版权，侵权

3、必究！与椭圆方程联立，消去得：，∴或.∴的面积为.【点睛】此题考查轨迹方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查计算能力，属于基础题4．已知椭圆，点是椭圆C上一点，离心率为.（1）求椭圆C的标准方程；（2）直线l：与椭圆C相交于A，B两点，且在y轴上有一点，当面积最大时，求m的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据点是椭圆C上一点，离心率为，由，且求解.（2）先求得到直线l的方程为的距离，再将直线代入椭圆方程，结合韦达定理，利用弦长公式求得，再利用求解.【详解】（1）由题意可得，且，，解得，，则椭圆的方程为；（2）由直线l的方程为，则到直线l的距离，31原创精品资源学科网独家享有版权，

4、侵权必究！将直线代入椭圆方程可得，由判别式，解得，设，，则，，由弦长公式可得，，，，，，，，当且仅当时取得等号.即当面积最大时，m的值为.【点睛】思路点睛：1、解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．2、设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长公式为，(k为直线斜率)．31原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！注意：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式大于零．5．已知椭圆E：()的左焦点为，过F的直线交E于A、C两点，的中点坐标为.（

5、1）求椭圆E的方程；（2）过原点O的直线和相交且交E于B、D两点，求四边形面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）设，，分别代入椭圆方程作差，结合平方差公式和直线的斜率公式、中点坐标公式，可得a，b的关系，再由a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到所求椭圆方程；（2）求得直线的方程，联立椭圆方程，可得A，C的坐标.设，，且直线的斜率存在，设方程为()，联立椭圆方程，可得B，D的横坐标，则，(，分别表示B，D到直线的距离)，运用点到直线的距离公式和换元法､基本不等式可得所求最大值.【详解】解：（1）设，，可得，，两式相减得，将，代入上式，即，，31原创精品资源学科网独家享有版权

6、，侵权必究！又，即有，，则椭圆E的方程为；（2）直线AC的方程为，联立，解得或，，设，，且直线的斜率存在，设方程为()，联立，得，则，设，分别表示B，D到直线的距离，所以，令，则，故，当且仅当，即，时，四边形的面积取得最大值.【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆中四边形面积的最值问题，属于较难题.6．已知椭圆的左，右焦点分别为，，离心率为，且．31原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的下顶点为，过右焦点作与直线关于轴对称的直线，且直线与椭圆分别交于点，，为坐标原点，求的面积．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）依题意得到方程，即可求出、，再根据，即可

7、求出，从而得解；（2）由题可知，直线与直线关于轴对称，所以，即可求出直线的方程，联立直线与椭圆方程，设，，即可求出、的坐标，从而求出，再利用点到直线的距离公式求出原点到直线的距离，最后根据计算可得；【详解】解：（1）由题得，，解得，因为，所以，所以椭圆的方程为．（2）由题可知，直线与直线关于轴对称，所以．由（1）知，椭圆的方程为，所以，，所以，从而，所以直线的方程为，即．联立方程，解得或．设，，不