2021届高考数学圆锥曲线中必考知识专题1 圆锥曲线的离心率问题（解析版）.doc

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1、专题1圆锥曲线的离心率问题（解析版）一、单选题1．已知双曲线的离心率为2，则（）A．2B．C．D．1【答案】D【解析】【分析】由双曲线的性质，直接表示离心率，求.【详解】由双曲线方程可知，因为，所以，解得：，又，所以.故选：D【点睛】本题考查双曲线基本性质，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，属于中档题型，一般求双曲线离心率的方法：1.直接法：直接求出，然后利用公式求解；2.公式法：，3.构造法：根据条件，可构造出的齐次方程，通过等式两边同时除以，进而得到关于的方程.2．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点A是椭圆短轴的一个顶点，且，则椭圆的离心率（）A．

2、B．C．D．【答案】D【解析】【分析】依题意，不妨设点A的坐标为，在中，由余弦定理得，再根据离心率公式计算即可.【详解】设椭圆的焦距为，则椭圆的左焦点的坐标为，右焦点的坐标为，依题意，不妨设点A的坐标为，在中，由余弦定理得：，，，，解得.故选：D.【点睛】本题考查椭圆的几何性质，在中，利用余弦定理求得是关键，属于中档题.3．已知A､B为椭圆的左、右顶点，F为左焦点，点P为椭圆上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线与线段PF交于M点，与y轴交于E点，若直线BM经过OE中点，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】根据已知条件求出三点坐标，再由

3、三点共线可得斜率相等，从而得出可得答案.【详解】由题意可设，设直线的方程（由题知斜率存在）为，令，可得，令，可得，设的中点为，可得，由三点共线，可得，即，即为，可得，故选：C.【点睛】本题考查求椭圆的离心率，解题关键是根据三点共线找到关于的等量关系.4．设，是双曲线的左、右焦点，是坐标原点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为.若，则的离心率为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】双曲线的渐近线方程为,则，，可得，在和中，分别求出和，利用，可得结合，即可求解.【详解】由题可得双曲线的渐近线方程为，，，，因为，所以，在中，，中，，因为，所以，所以可得，所以，

4、所以，所以，故选：D【点睛】本题主要考查了利用双曲线的性质求双曲线的离心率，属于中档题.5．已知F是椭圆C：(a>b>0)的右焦点，点P在椭圆C上，线段PF与圆相切于点Q，（其中为椭圆的半焦距），且则椭圆C的离心率等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】由题意首先利用几何关系找到a、b的比例关系，然后计算椭圆的离心率即可.【详解】如图所示，设椭圆的左焦点为F1,连接PF1，设圆心为C，则圆心坐标为,半径为，∴

5、F1F

6、=3

7、FC

8、，∵PQ=2QF,∴PF1∥QC,

9、PF1

10、=b，∴

11、PF

12、=2a−b，∵线段PF与圆相切于点Q，∴CQ⊥PF，∴PF1

13、⊥PF，∴b2+(2a−b)2=4c2，，,则，.故选：A.【点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．6．已知双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】由题意可得出，再由可求得该双曲线的离心率的值.【详解】由于双曲线的渐近线方程为，则，因

14、此，该双曲线的离心率为.故选：A.【点睛】本题考查利用双曲线的渐近线方程求双曲线的离心率，利用公式计算较为方便，考查计算能力，属于基础题.7．已知椭圆的右焦点为，过点作轴的垂线交椭圆于，两点，若，则椭圆的离心率等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】由可得是等腰直角三角形，结合椭圆的几何性质列出方程，可求解椭圆的离心率．【详解】椭圆的右焦点为，过作轴的垂线交椭圆于，两点，由，若，则是等腰直角三角形为坐标原点），可得，即，可得且，解得．故选：A．【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，考查了椭圆的几何性质，同时考查了垂直关系的向量表示，是基本知识的考查．8

15、．已知过双曲线的右焦点F，且与双曲线的渐近线平行的直线l交双曲线于点A，交双曲线的另一条渐近线于点B（A，B在同一象限内），满足，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．2【答案】B【解析】【分析】将直线的方程分别与双曲线方程及渐近线方程联立，求出的纵坐标，再利用已知条件求解．【详解】双曲线的渐近线方程为，如图，不妨设在第一象限，直线的方程为，与联立，得；直线与联立，得．由，得，即，得，即，则，故选：B．【点睛】本题考查双曲线的几何性质等，考查数形结合思想和考生的运算求解能力，解题关键是利用题目条件建立a、b、c的等量关系，从而求解离心率，属于中等题.9．已

16、知双曲线的焦距为4，则该双曲线的离心率为（）A．B．