2021届高考数学圆锥曲线中必考知识专题3 圆锥曲线中的定值定点问题（解析版）.doc

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1、专题3：圆锥曲线中的定值定点问题（解析版）1．已知椭圆的离心率为，短轴一个端点到右焦点F的距离为.（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点F的直线l交椭圆于A、B两点，交y轴于P点，设，试判断是否为定值？请说明理由．【答案】（1）；（2）是定值-4，理由见解析.【解析】【分析】（1）由题意可得，，，可求得椭的圆方程.（2）设直线的方程为，与椭圆的方程联立整理得：，设，，由一元二次方程的根与系数的关系可得，再根据向量的坐标运算表示出，，代入计算可求得定值.【详解】（1）由题可得，又，所以，，因此椭圆方程为，（2）由题可得直线斜率存在，设直线的方程为

2、，由消去，整理得：，29原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！设，，则，又，，则，，由可得，所以，同理可得，所以，所以，为定值-4.【点睛】本题考查直线与椭圆的定值问题，关键在于联立方程组，得出交点的坐标的关系，将目标条件转化到交点的坐标上去，属于中档题.2．已知椭圆：的离心率为，且经过点，（1）求椭圆的标准方程；（2）过点作直线与椭圆相较于，两点，试问在轴上是否存在定点，使得两条不同直线，恰好关于轴对称，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）存在，使得两条不同直线，恰好关于轴对称.【解析】【分析】（1）将点坐

3、标代入方程，结合离心率公式及，即可求出，进而可求得椭圆的标准方程；（2）设直线l的方程为，与椭圆联立，可得，29原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！的表达式，根据题意可得，直线，的斜率互为相反数，列出斜率表达式，计算化简，即可求出Q点坐标.【详解】（1）有题意可得，解得，所以椭圆的方程为.（2）存在定点，满足直线，恰好关于x轴对称，设直线l的方程为，由，联立得，，设，定点，由题意得，所以，因为直线，恰好关于x轴对称，所以直线，的斜率互为相反数，所以，即，所以，即，所以，即，所以当时，直线，恰好关于x轴对称，即.综上，在轴上存在定点，使直

4、线，恰好关于x轴对称.【点睛】29原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！本题考查椭圆的方程及几何性质，考查直线与椭圆的位置关系问题，解题的关键是将条件：直线，恰好关于x轴对称，转化为直线，的斜率互为相反数，再根据韦达定理及斜率公式，进行求解，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.3．已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线在第一象限相切于点，点到坐标原点的距离为.（1）求抛物线的标准方程；（2）过点任作直线与抛物线相交于，两点，请判断轴上是否存点，使得点到直线，的距离都相等.若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（

5、2）存在；点的坐标为.【解析】【分析】（1）设直线的方程为，与抛物线方程联立，利用判别式等于0，解得，点坐标为，根据点到坐标原点的距离为可得结果；（2）设直线，假设存在这样的点，设，，点，联立方程消去整理成关于的一元二次方程，根据韦达定理得到和，将点到直线，的距离都相等转化为直线，的斜率互为相反数，根据可得结果.【详解】（1）设直线的方程为，联立方程组消去得，，由，因为，解得（舍），29原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！所以由可得，所以，所以点坐标为，则，解得，故抛物线的标准方程为.（2）设直线，假设存在这样的点，设，，点，联立方程消

6、去整理得，可得，，若点到直线，的距离相等，则直线，的斜率互为相反数，有（先假设，），可得，整理得，，得对任意的都成立，得.显然且.故存在这样的点的坐标为.【点睛】关键点点睛：解题关键是将点到直线，的距离都相等转化为直线，的斜率互为相反数，然后根据可得结果.本题考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力．转化化归思想，属于中档题．4．已知椭圆的左､右焦点分别为，，且，设是上一点，且，.（1）求椭圆的方程；（2）若不与轴垂直的直线过点，交椭圆于，两点，试判断在轴的负半轴上是否存在一点，使得直线与斜率之积为定值？若存在，求出点29原创精品资源学科网独家

7、享有版权，侵权必究！的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）存在，定点.【解析】【分析】（1）由，求得，根据椭圆的定义求得，结合，求得，，即可得到椭圆的方程；（2）设的方程为，联立方程组，求得，结合斜率公式化简，得到当时，为定值.【详解】（1）设椭圆的焦距为，则，可得，由椭圆的定义，得，可得，所以，即，又由和，解得，，所以椭圆的方程为.（2）由已知直线过点，设的方程为，联立方程组，消去并整理得，设，，则，所以，.29原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！又直线与斜率分别为，，则.因为，所以当时，，.所以在负半轴上存在定点，使得

8、直线与斜率之积为定值.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与椭圆的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆方程，应用一元二次方程根与系数