高等代数-第4章多项式-4.6-重因式与重根教案资料.ppt

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1、高等代数-第4章多项式-4.6-重因式与重根2021/8/2高等代数的导数称为的三阶导数，记为…………的k阶导数记为多项式的求导法则：1、2、3、4、2021/8/2高等代数定理1.6.1：若不可约多项式是的k重因式（k>1），则是式，特别多项式的单因式不是式。证：的k-1重因的因2021/8/2高等代数从而于是是的k-1重因式。推论1：若不可约多项式是的k重因式不是的因式。证：是的k-1重因式，是的k-2重因式，……………（k>1），则是的因式，但2021/8/2高等代数是的（k-(k-1)=1）单因式，因而不是的因式。推论2：不可约多项式是的重因式的充要条件是是与的公因式。证：必要性

2、由推论1立得。充分性，若是与的公因式，则不是的单因式（否则，由推论1知的因式），故不是是的重因式。推论3：无重因式的充要条件是多项式与互素。2021/8/2高等代数推论3表明，判别一个多项式有没有重因式，可以利用辗转相除法得到。在讨论与解方程有关的问题时，常常要求所讨论多项式有没有重因式。设多项式的标准分解式为：由定理1得：故2021/8/2高等代数于是：有没有重因式，只要求1、判别的最大公因式的重因式的重数恰好是中重因式的重数加1。此法不能求的单因式。例1.6.1在中分解多项式2、分离重因式，即求的所有不可约的单因式：2021/8/2高等代数例1.6.2：求多项式有重因式的条件。202

3、1/8/2高等代数当时，即这时f有重因式当时，即时，欲有重因式，只需即重因式是例1.6.3：用分离因式法（单因式化法）求多项式在Q上的标准分解式。2021/8/2高等代数解：利用辗转相除法求得：把单因式化，得由于故是的3重因式，是的单因式，故在Q上的标准分解式为2021/8/2高等代数多项式在中没有重因式，问题：在中是否也没有重因式？由于多项式的导数以及两个多项式互素与否在由数域F过渡到含F的数域时并无改变，故有没有重因式不因数域的扩大而改变。2021/8/2高等代数一、多项式函数定义：设对数称为当F中的根或零点。定义（多项式函数）：设对作映射f：为F上的多项式函数。时的值，若则称c为在

4、映射f确定了数域F上的一个函数被称2021/8/2高等代数当F=R时，就是数学分析中所讨论的多项式函数。若则二、余式定理和综合除法所得的余式是。用一次多项式x-c去定理1.7.1（余式定理）：除多项式证：由带余除法：设则。2021/8/2高等代数问题1、有没有确定带余除法：的简单方法？中和设把代入中展开后比较方程两边的系数得：2021/8/2高等代数因此，利用与之间的系数关系可以方便和r，这就是下面的综合除法：2021/8/2高等代数于是得去除例1.7.1：求用的商式和余式。解：由综合除法因此2021/8/2高等代数利用综合除法求与r时应注意：1、多项式系数按降幂排列，有缺项必须补上零；

5、2、除式要变为例1.7.2：把表成的方幂和。2021/8/2高等代数定理1.7.2（因式定理）：因式的充要条件是。证明：设若即故是的一个因式。若有一个因式即故此即。由此定理可知，要判断一个数c是不是的根，可以直接代入多项式函数，看是否等于零；也可以利用综合除法来判断其余数是否为零。多项式有一个2021/8/2高等代数三、多项式的根定义3：若是的一个k重因式，即有但则是的一个k重根。问题2、若多项式有重根，能否推出有重因式，反之，若有重因式，能否说有重根？由于多项式有无重因式与系数域无关，而有无重根与系数域有关，故有重根有重因式，但反之不对。2021/8/2高等代数定理1.7.3（根的个数

6、定理）：数域F上次多项式至多有n个根（重根按重数计算）。证明（用归纳法）：当时结论显然成立，假设当是次多项式时结论成立，则当是n次多项式时，设是的一个根，则有是n-1次多项式，由归纳知至多只有个根，故至多只有n个根。2021/8/2高等代数证二：对零次多项式结论显然成立，数等于分解式中一次因式的个数，这个数目当然不定理1.7.4：超过n，若在F中有n+1个不同的数使与的值相等，则。证明：令设它们的次数都不若又把若是一次数>0的多项式，分解成不可约多项式的乘积，这时在数域F中根的个超过n。2021/8/2高等代数由于F中有n+1个不同的数，使与的值相等，故有n+1个不同的根，这与定理1.7

7、.3矛盾，故即问题3、设是F中n个不同的数，是F中任意n个数，能否确定一个n-1次多项式，使利用定理1.7.4可求一个n-1次多项式使2021/8/2高等代数作函数则这个公式也称为Lagrange插值公式。例1.7.3：求一个次数小于3的多项式使。解一（待定系数法）：设所求的多项式2021/8/2高等代数由已知条件得线性方程组：解之得解二（利用Lagrange公式）：2021/8/2高等代数利用Lagrange插值公式可得：问题4、