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1、不等式、函数与导数函数的图象和性质1．关于函数定义域为R的结论(1)若f(x)=型的函数的定义域为R，则有ax2+bx+c≥0恒成立⇔(2)若f(x)=lg(ax2+bx+c)型的函数的定义域为R，则有ax2+bx+c>0恒成立⇔(3)若型的函数的定义域为R，则有ax2+bx+c≠0恒成立⇔.2．函数的单调性的等价关系(1)设x1，x2∈[a，b]，x1≠x2，那么(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0⇔⇔f(x)在[a，b]上是增函数；(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0⇔⇔f(x)在[a，b]上是减函数．(2)设函数y=f(x)在某个区间内
2、可导，如果f′(x)>0，则f(x)为增函数；如果f′(x)<0，则f(x)为减函数．(3)如果函数f(x)和g(x)都是减函数，则在公共定义域内，和函数f(x)+g(x)是减函数；如果函数f(x)和g(x)都是增函数，则在公共定义域内，和函数f(x)+g(x)也是增函数．(4)复合函数y=f[g(x)]的单调性：同增异减．3．函数的奇偶性质(1)f(x)为奇函数⇔f(-x)=-f(x)⇔f(-x)+f(x)=0；f(x)为偶函数⇔f(x)=f(-x)=f(
3、x
4、)⇔f(x)-f(-x)=0.(2)f(x)是偶函数⇔f(x)的图象关于y轴对称；f(x)是奇函
5、数⇔f(x)的图象关于原点对称．(3)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性．(4)若f(x+a)为奇函数⇒f(x)的图象关于点(a,0)成中心对称；若f(x+a)为偶函数⇒f(x)的图象关于直线x=a对称．(5)设f(x)，g(x)的定义域分别D1,D2，那么在它们的公共定义域D=D1∩D2上，奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇×奇=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇；(6)多项式函数P(x)=anxn+an-1xn-1+…+a0的奇偶性：多项式函数P(x)是奇函数⇔P(x)的偶次项的系数全为零；多项式函数P(x)是偶函数⇔P(x)
6、的奇次项的系数全为零．4．函数的对称性常用结论：(1)证明函数图象的对称性，即证图象上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图象上．(2)证明图象C1与C2的对称性，即证C1上任意点关于对称中心(轴)的对称点在C2上，反之亦然．(3)函数y=f(x)与y=f(-x)的图象关于直线x=0(y轴)对称；函数y=f(x)与函数y=-f(x)的图象关于直线y=0(x轴)对称．(4)若函数y=f(x)在x∈R时，f(a+x)=f(a-x)或f(x)=f(2a-x)恒成立，则y=f(x)的图象关于直线x=a对称．(5)若函数y=f(x)在x∈R时，f(a+x)=f(b-x
7、)恒成立，则y=f(x)的图象关于直线对称．(6)函数y=f(a+x)，y=f(b-x)的图象关于直线对称．(7)函数y=f(x-a)与y=f(b-x)的图象关于直线对称．(8)函数y=f(x)，y=A-f(x)的图象关于直线y=对称[由确定．由两个条件可求出b，c，再利用图象或解方程求解．【例1】设函数，若f(-4)=f(0)，f(-2)=-2，求关于x的方程f(x)=x的解的个数．函数的图象从形式上很好地反映了函数的性质，所以在研究函数性质时，注意结合图象，在解方程和不等式等问题时，借助图象十分快捷，但要注意，利用图象求交点个数或解的个数问题时，作图要十
8、分准确，否则容易解错．【变式训练】(2010浙江卷)设函数的集P={f(x)=log2(x+a)+b
9、a=-1/2，0，1/2，1；b=-1,0,1}，平面上点的集合Q={(x，y)
10、x=-1/2，0，1/2，1；y=-1,0,1}，则在同一直角坐标系中，P中函数f(x)的图象恰好经过Q中两个点的函数的个数是()A．4B．6C．8D．10【例2】(2010全国卷Ⅰ)直线y=1与曲线y=x2-
11、x
12、+a有四个交点，则a的取值范围是__________．画出函数图象，利用数形结合的数学方法解题．在解方程或不等式等问题时，借助图象十分快捷，但要注意求交点个数或解的
13、个数等问题时，作图要十分准确，否则容易出错．【变式训练】已知函数f(x)=
14、x2-4x+3
15、.(1)求函数f(x)的单调区间，并指出其单调性；(2)求集合M={m
16、使方程f(x)=mx有四个不等的实根}．【例3】(2010湖南卷)用min{a，b}表示a、b两数中的最小值，若函数f(x)=min{
17、x
18、，
19、x+t
20、}的图象关于直线x=对称，则t的值为( )A．-2B．2C．-1D．1先作出y=
21、x
22、的图象，再作出y=
23、x
24、关于x=对称的图象，从而确定t的值．本题通过新定义考查学生的创新能力，考查函数的图象及数形结合的能力。由题意画出f(x)=min{
25、x
26、
27、，
28、x+t
29、}的图象，因为其图象关于x=对称，则-t
