第一节 多元函数的基本概念 - Beijing Normal University.ppt

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1、推广第九章一元函数微分学多元函数微分学注意:善于类比,区别异同多元函数微分法及其应用第九章第一节一、平面点集二、多元函数的概念三、多元函数的极限四、多元函数的连续性多元函数的基本概念一、平面点集1.邻域(neighborhood)(圆邻域)说明:若不需要强调邻域半径,也可写成点P0的去心邻域记为坐标平面上具有某种性质P的点的集合,称为平面点集.在讨论实际问题中也常使用方邻域,平面上的方邻域为。因为方邻域与圆邻域可以互相包含.2.区域(domain)(1)内点、外点、边界点设E是平面上的一个点集，P是平面上的一个点，它们之间的关系有如下三种

2、：内点外点边界点（i）内点但一般情形下：此时（ii）外点：如果存在点P的某一领域不含有E中的点显然E的外点必然不属于E。（ii）边界点例如.注：E的边界点本身可以属于E，也可以不属于E.(2)聚点若对任意给定的,点P的去心邻域内总有E中的点,则称P是E的聚点.聚点可以属于E,也可以不属于E(因为聚点可以为所有E的聚点所成的点集成为E的导集,记作E的边界点)例如,(0,0)是聚点但不属于集合．内点一定是聚点；边界点可能是聚点；(0,0)是聚点．集合中的点都是边界点，但不是聚点.(3)开区域及闭区域若点集E的点都是内点，则称E为开集；

3、若点集EE,则称E为闭集；E的边界点的全体称为E的边界,记作E;D若集D中任意两点都可用一完全属于D的折线相连,开区域连同它的边界一起称为闭区域.则称D是连通的;连通的开集称为开区域,简称区域;。。例如，在平面上开区域闭区域整个平面点集是开集，是最大的开域,也是最大的闭域;但非区域.对区域D,若存在正数K,使一切点PD与某定点A的距离APK,则称D为有界域,界域.否则称为无*3.n维空间n元有序数组的全体所构成的集合记作即中的每一个元素用单个粗体字母x表示,即定义:线性运算其元素称为点或n维向量.xi称为

4、x的第i个坐标或第i个分量.称为n维空间,的距离定义为中点a的邻域为与零元0的距离为记作则称x显然趋于a,二、多元函数的概念引例:圆柱体的体积定量理想气体的压强定义1.设非空点集点集D称为函数的定义域;数集称为函数的值域.特别地,当n=2时,有二元函数当n=3时,有三元函数映射称为定义在D上的n元函数,记作例如,二元函数定义域为圆域说明:二元函数z=f(x,y),(x,y)D图形为中心在原点的上半球面.的图形一般为空间曲面.三元函数定义域为图形为空间中的超曲面.单位闭球在讨论用算式表达的多元函数u=f(x)时，以使这个算式有意义的

5、变元x的值所组成的点集称为这个多元函数的自然定义域。约定：对这类函数，定义域不在特别标出。三、多元函数的极限定义2.设n元函数点,则称A为函数(也称为n重极限)当n=2时,记二元函数的极限可写作：P0是D的聚若存在常数A,对一记作都有对任意正数,总存在正数,切(二重极限)(2)类似于一元函数极限的讨论，对二元函数极限同样有极限值唯一性，局部保号性，极限的四则运算和复合运算法则，函数局部有界性等．例如：函数与其极限的关系(1)定义中的方式是任意的；反之不成立说明：例1.设求证:证:故总有要证方法二：令则例2.设求证：证：故总有要证例3求极

6、限解其中若当点趋于不同值或有的极限不存在，解:设P(x,y)沿直线y=kx趋于点(0,0),在点(0,0)的极限.则可以断定函数极限则有k值不同极限不同!在(0,0)点极限不存在.以不同方式趋于不存在.例4.讨论函数函数仅知其中一个存在,推不出其他二者存在.注.二重极限不同.如果它们都存在,则三者相等.例如,显然与累次极限但由例4知它在(0,0)点二重极限不存在.例2不能.例5证明极限不存在故极限不存在.但是取则解：取求二元函数极限的方法利用两边夹方法利用极坐标代换转化为一元函数的极限选择不同的极限路径,证明极限不存在利用累次极限来证

7、明极限不存在四、多元函数的连续性定义3.设n元函数定义在D上,如果函数在D上各点处都连续,则称此函数在D上如果存在否则称为不连续,此时称为间断点.则称n元函数连续.连续,把一元初等函数看成二元函数的特例(即另一个自变量不出现)，可以得到它们的连续性。例如例如,函数在点(0,0)极限不存在,又如,函数上间断.故(0,0)为其间断点.在圆周例6讨论函数在(0,0)处的连续性．解取故函数在(0,0)处连续.多元初等函数：由多元多项式及具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算所表示的多元函数叫多元初等函数.一切多元初等函数在其

8、定义区域内是连续的．定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域．根据多元函数的极限运算法则，可证得多元连续函数的和、差、积仍为连续函数；多元连续函数的商在分母不为零处仍连续；多元连