第一节 多元函数的基本概念

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1、第八章多元函数微分法及应用（§1多元函数基本概念）第八章多元函数微分法及应用第一节多元函数的基本概念要求：掌握二元函数及其定义域的概念，会用平面图形表示定义域，知道二元函数的几何意义。了解二元函数的极限余连续的概念，并且知道它与一元函数的差别。重点：二元函数极限的概念，它与一元函数的差别。难点：二元函数极限的定义与计算。作业：习题8－1（）在现实中，许多客观现象或过程的发生和发展都是受多种因素制约的，在数学上表现为一个变量依赖于多个变量的问题，涉及多个变量的函数称为多元函数．本章多元函数微分学及应用，我们主要针对二元函数展开讨论，这不仅因为有关的概念和方法有比较直观的解释，便

2、于理解，而且这些概念和方法大都能自然地推广到二元以上的多元函数．讨论一元函数时，常用到邻域和区间概念，由于讨论多元函数的需要，首先把邻域和区间概念加以推广称邻域和区域．一．区域1．邻域定义1设是平面上的一个点，是某一正数，与点距离小于的点的全体，称为点的邻域，记为．即几何解释：是平面上以点为中心，为半径圆的内部点的全体．去心邻域：点的去心邻域2．区域设是平面上的一点集，是平面上的一点．内点：如果存在点的某一邻域，使得，则称为的内点．开集：如果点集的点都是内点，则称为开集．如是开集边界点：如果点的任一邻域内既有属于的点，也有不属于的点，则称为的边界点．边界：的边界点的全体称为的

3、边界．如的边界是和10第八章多元函数微分法及应用（§1多元函数基本概念）连通：设是开集，如果对于内任何两点，都可用属于的折线将其连接起来，则称开集是连通的．定义2连通的开集称为区域．如有界闭区域无界开区域有界区域与无界区域：对于区域，如果存在正数，使得，那么称区域为有界区域，否则称无界区域．3．维空间我们知道，数轴上的点与实数有一一对应关系，从而实数全体表示数轴上一切点的集合，即直线．在平面直角坐标系下，平面上的点与有序二元数组一一对应，从而有序二元数组全体表示平面上一切点的集合，即平面．在空间直角坐标系下，空间上的点与有序三元数组一一对应，从而有序三元数组全体表示空间上一切

4、点的集合，即空间——三维空间．一般地，设为取定的一个自然数，称有序元数组的全体为维空间，而每个有序元数组称为维空间中的一个点，数称为该点的第个坐标，维空间记为．设维空间中两点及的距离为说明：前面平面点集的一系列概念，可推广到维空间中去如点的邻域，设，数．定义3为点的邻域．二．二元函数概念以前所研究的函数都依赖于一个自变量，即一元函数，但在许多自然现象和实际问题中所遇到的函数关系，常依赖于两个或两个以上自变量．下面举几例子．例1.圆柱体的体积和它的底半径，高之间有关系式这里，当在集合内取定一对值时，10第八章多元函数微分法及应用（§1多元函数基本概念）的对应值就随之确定．例2．

5、设是电阻并联后的总电阻，它们之间关系这里，当在集合内取定一对值时，的对应值就随之确定．上面二个例子具体意义虽各不同，但它们确有共同的性质，抽象出这些共同性就可得到下列二元函数定义．1．二元函数定义定义4设是平面上的一个点集，如果对于每个点，变量按照一定法则总有确定的值和它对应，则称是变量的二元函数(或点的点函数)，记为，(或)其中称为自变量，称因变量，称该函数的定义域．数集称该函数的值域．说明：（1）判断是否是变量的函数，只要看它们是否有对应关系，根据这个对应关系，当变量给定一组值，就能确定出的值，至于这个对应关系是什么形式，如何表达的，函数定义并不要求．例如二元函数，是的二

6、元函数，二元函数．（2）二元函数的定义也可以表示为：．2．二元函数定义域求法二元函数定义域与一元函数的定义域求法相类似．（1）用算式表达的二元函数，那么使这个算式表达式有意义的自变量的取值范围，就是函数的定义域；（2）当函数的自变量具有某种实际意义时，应根据实际意义确定其定义域．如：在例1中，．10第八章多元函数微分法及应用（§1多元函数基本概念）例3．求二元函数的定义域．解要使对数有意义，必须．所以满足的点的全体在几何上如何画出:（1）先找边界，（2）再以点示面，确定位置．函数的定义域是无界开区域．例4．求函数的定义域．解定义域，所以是有界闭区域．例5．求函数的定义域．解定

7、义域，所以无界开区域．例6．求函数定义域，并计算．解定义域，所以，不连通，则不是区域．．3．二元函数几何意义一元函数通常表示平面上一条曲线，二元函数，，其定义域是平面上的一个区域，对于中任意一点必有数与其对应，因此三元有序数组就10第八章多元函数微分法及应用（§1多元函数基本概念）确定了空间的一点，则空间点集为函数的图形，通常是空间曲面．例7．作的图形．解所确定的图形是球心在原点，半径为的球面，它所确定的二元函数，其定义域为．在内任取一点，对应两个函数值及，因此它是多值函数，即可分为两个单值函数(上半球