第一节多元函数的基本概念.doc

《第一节多元函数的基本概念.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第八章多元函数微分法及其应用一、学时分配讲课学时：16学时习题课学时：2学时共18学时二、基本内容1．多元函数的概念、极限、连续性2．偏导数、全微分、复合函数与隐隐约约函数的求导3．多元函数微分学的几何应用4．方向导数与梯度5．多元函数的极值与最值。三、教学要求1．理解多元函数的基本概念；2．理解多元函数偏导数的概念，熟练掌握多元函数偏导数、全微分的求法；3．掌握多元复合函数、隐函数的求导法则；4．理解多元函数微分学的几何应用，了解方向导数与梯度；5．掌握多元函数极值的求法，并会应用其解决实际问题。四、重点难点1．重点：多元函数

2、的偏导数的概念与求法，条件极值2．难点：多元复合函数的求导第一节多元函数的基本概念教学目的：学习并掌握关于多元函数的区域、极限以及多元函数概念，掌握多元函数的连续性定理，能够判断多元函数的连续性，能够求出连续函数在连续点的极限．教学重点：多元函数概念和极限，多元函数的连续性定理．教学难点：计算多元函数的极限．教学内容：一、平面点集1．邻域设是平面上的一个点，是某一正数．与点距离小于的点的全体，称为点的邻域，记为，即，也就是．在几何上，就是平面上以点为中心、为半径的圆内部的点的全体．称为点的去心邻域．1．区域设是平面上的一个点集，

3、是平面上的一个点．如果存在点的某一邻域，则称为的内点．显然，的内点属于．如果的点都是内点，则称为开集．例如，集合中每个点都是的内点，因此为开集．如果点的任一邻域内既有属于的点，也有不属于的点（点本身可以属于，也可以不属于），则称为的边界点．的边界点的全体称为的边界．例如上例中，的边界是圆周和．如果对于任意给定的，的去心邻域内总有的点，则称是的聚点．设是点集．如果对于内任何两点都可用完全包含在中的折线连结起来，则称点集是连通的．连通的开集称为区域或开区域．例如，及都是区域．开区域连同它的边界一起所构成的点集，称为闭区域，例如及都是

4、闭区域．对于平面点集,如果存在某一正数，使得，其中是原点坐标，则称为有界点集，否则称为无界点集．例如，是有界闭区域，是无界开区域．3．维空间元有序实数组的全体构成集合。元素通常也用单个字母表示，称为的第个坐标。在中定义线性运算如下：设，为中的任意两个元素，，规定：，这样定义了线性运算的集合称为维空间。二、多元函数概念在很多自然现象以及实际问题中，经常遇到多个变量之间的依赖关系，举例如下：例1圆柱体的体积和它的底半径、高之间具有关系．这里，当在集合内取定一对值时，的对应值就随之确定．例2一定量的理想气体的压强、体积和绝对温度之间具

5、有关系=，其中为常数．这里，当、在集合内取定一对值时，的对应值就随之确定．定义1设是平面上的一个点集．称映射为定义在上的二元函数，通常记为，（或，）．其中点集称为该函数的定义域，称为自变量，称为因变量．数集称为该函数的值域．是的函数也可记为，等等．类似地可以定义三元函数以及三元以上的函数．一般的，把定义1中的平面点集换成维空间内的点集，则可类似地可以定义元函数．元函数也可简记为，这里点．当时，元函数就是一元函数．当时，元函数就统称为多元函数．关于多元函数定义域，与一元函数类似，我们作如下约定：在一般地讨论用算式表达的多元函数时，

6、就以使这个算式有意义的变元的值所组成的点集为这个多元函数的自然定义域．例如，函数的定义域为（图8-1），就是一个无界开区域．又如，函数的定义域为（图8-2），这是一个有界闭区域．设函数的定义域为．对于任意取定的点，对应的函数值为．这样，以为横坐标、为纵坐标、为竖坐标在空间就确定一点．当遍取上的一切点时，得到一个空间点集，图8-1-1图8-1-2这个点集称为二元函数的图形．通常我们也说二元函数的图形是一张曲面．三、多元函数的极限定义2设二元函数的定义域为，是的聚点．如果存在常数，对于任意给定的正数，总存在正数，使得当点时，都有成立

7、，则称常数为函数当时的极限，记作，或（）．为了区别于一元函数的极限，我们把二元函数的极限叫做二重极限．我们必须注意，所谓二重极限存在，是指以任何方式趋于时，函数都无限接近于．因此，如果以某一种特殊方式，例如沿着一条直线或定曲线趋于时，即使函数无限接近于某一确定值，我们还不能由此断定函数的极限存在．但是反过来，如果当以不同方式趋于时，函数趋于不同的值，那么就可以断定这函数的极限不存在．下面用例子来说明这种情形．考察函数显然，当点沿轴趋于点时，；又当点沿轴趋于点时，．虽然点以上述两种特殊方式(沿轴或沿轴)趋于原点时函数的极限存在并且

8、相等,但是并不存在．这是因为当点沿着直线趋于点时,有，显然它是随着的值的不同而改变的．例3求．解这里的定义域为，为的聚点．由极限运算法则得．四、多元函数的连续性定义3设函数在开区域（闭区域）内有定义，是聚点，且．如果,则称函数在点连续．如果函数在开区域（或闭区域