多元函数微分法及其应用第一节多元函数的基本概念

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1、第一节多元函数的基本概念一多元函数的定义二多元函数的极限与连续性1一多元函数的定义（1）邻域1有关区域的概念定义2（2）区域例如，即为开集．34连通的开集称为区域或开区域．例如，例如，连通的不是开集是开集不是连通的不是闭区域的例子：去掉边界不是开区域5有界闭区域；是无界开区域．例如，6（3）聚点内点一定是聚点；说明：边界点可能是聚点；例(0,0)既是边界点也是聚点．7点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E．例如,(0,0)是聚点但不属于集合．例如,边界上的点都是聚点也都属于集合．82n维空间n维空间的记号为说明：n维空间中两点间距离公式元数称为维空间中的一个点，而每个组设为取定的一个自

2、然数，我们称数组的全体为维空间，元为该点的第个坐标.数称设两点为定义9n维空间中邻域、区域等概念特殊地当内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义．邻域：时，便为数轴、平面、空间两点间的距离．10设是平面上的一个点集，如果对于每个点3多元函数的定义元函数的定义，记为定义(1)二元函数的定义是的二元函数，则称或变量按照一定的法则值和它对应，总有唯一确定的其中称为函数的定义域，称为函数的自变量，称为函数的因变量。说明如果将换成中的点集，相应的可得出元函数统称为多元函数.11例1求解所求定义域为的定义域．12(2)二元函数的图形设函数的定义域为对应的函数值这个点集称为二元函数的图形.对于任意取定

3、的为纵坐标、为竖坐标在空间就确这样以为横坐标、定一点当取遍个空间点集时，得一二元函数的图形通常是一张曲面.13例如,14例如,(3)多值函数在函数的定义中要求对每个按照一确定法则有唯一的一个数与对应，但在实际问题中经常存在多个数与对应，这样的对应关系称为多值函数，因此我们说由确定了一个多值函数。对于多值函数可分成几个(单值)函数来讨论，例如,可分成对于每个点有两个确定的数和与之对应，和讨论。151多元函数的极限二多元函数的极限与连续性定义是其聚点，总存在正数使得对于适合不等式的一切点，且都有成立，在时的极限，或这里如果对于任意给定的正数为函数称记为则的定义域为设函数16说明：（1）定义

4、中的方式是任意的；（2）二元函数的极限也叫二重极限（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．确定极限不存在可以找多种趋向于的路径，且的极限不相等。（4）求二元函数可以通过转变，化为一元函数的极限17例2求证证当时，原结论成立．18例3求极限解其中19例4证明证取其值随k的不同而变化，故极限不存在．不存在．20类似可以定义元函数的极限定义设元函数的定义域为点集是其聚点，如果对于任意给定的正数总存在正数使得对于适合不等式的一切点都有成立，则称元函数在时的极限，为记为212多元函数的连续性定义设元函数的定义域为点集如果则称元函数在点处连续.设是函数的定义域的聚点，在点处不连续，如果是函数的

5、间断点.则称如果函数在D上各点处都连续,则称此函数在D上连续.是其聚点且22例5讨论函数在(0,0)处的连续性．解故函数在(0,0)处连续．23函数在点(0,0)极限不存在,函数上间断.故(0,0)为其间断点.在圆周24多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数一切多元初等函数在其定义区域内是连续的．定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域．25例6解例7求函数的连续域.解:26闭区域上连续函数的性质在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次．在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在

6、D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次．（1）最大值和最小值定理（2）介值定理27