第一节-多元函数的基本概念

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1、第一节多元函数的基本概念教学目的：了解平面点集的有关概念；了解二元函数概念；了解二元函数的极限与连续性概念。教学重难点：二元函数的极限与连续性概念。教法：讲授课时：2学时一、平面点集由平面解析几何知道，当在平面上引入了一个直角坐标系后，平面上的点P与有序二元实数组(x,y)Z间就建立了一一对应.于是，我们常把有序实数组(兀刃与平面上的点P视作是等同的.这种建立了坐标系的平面称为坐标平面.二元的序实数组(兀，y)的全体，即R2=RxR={(x,y)x,ywR}就表示坐标平面.坐标平面上具有某种性质户的点的集合，称为平面点集，记作E={(x9y)(x9

2、y)具有性质P].例如，平面上以原点为屮心、厂为半径的圆内所有点的集合是如果我们以点P表示(X,)，),以

3、0P

4、表示点P到原点。的距离，那么集合C可表成C={P\OP0为半径的圆的内部的点P(x,y)的全体.注：如果不需要强调邻域的半径§则

5、用U(P())表示点P()的某个邻域，点P()的去心邻域记作b(PQ.2、点与点集之间的关系：任意一点PwR'与任意一个点集EuR?之间必有以下三种关系中的一种：⑴内点:如果存在点P的某一邻域U(P),使得U(P)uE,则称P为E的内点；(2)处点:如果存在点P的某个邻域"(P),使得U(P)c民0,则称P为E的外点；(3)边界点：如果点P的任一邻域内既有属于E的点，也有不属于E的点，则称P点为E的边点.E的边界点的全体，称为E的边界，记作8EE的内点必属于的外点必定不属于£;而E的边界点可能属于E,也可能不属于E.聚点:如果对于任意给定的於0,点P的

6、去心邻域〃(只①内总有E屮的点，则称P是E的聚点.由聚点的定义可知，点集E的聚点P本身，可以属于E,也可能不属于£.例如，设平面点集E=｛(x,y)

7、i&+y2<2｝.满足1

8、(x,y)\

9、1&土层2｝既非开集，也非闭集.连通集：如果点集E内任何两点，都可用折线连结起来，且该折线上的点都属于E,则称E为连通集.区域(或开区域):连通的开集称为区域或开区域.例如E=｛(x,y)l

10、1*+汽2｝.有界集:对于平面点集E,如果存在某一正数厂，使得EuU(O,r),其中0是坐标原点，则称E为有界点集.无界集:一个集合如果不是有界集，就称这集合为无界集.例如，集合｛(兀,y)

11、l"+)沧2｝是有界闭区域；

12、集^｛(x,y)x+y>l｝是无界开区域；集合｛(x,y)x+y>｝是无界闭区域.二、多元函数概念例1圆柱体的体积V和它的底半径广、高h之间具有关系V=岔％这里，当厂、〃在集合｛0,/?)

13、QO,/?>O｝内取定一对值(厂，防时,V对应的值就随之确定.例2—定量的理想气体的压强〃、体积V和绝对温度卩之间具有关系P=其中R为常数.这里，当V、卩在集合｛(V,7)lV>o,7>0)内取定一对值(V,刀时,0的对应值就随之确定.例3设R是电阻川、心并联后的总电阻，由电学知道，它们Z间具有关系R=这里，当&、&在集合｛(&,尺2)1&>0,/?2>0｝内

14、取定一对值(川，&)时,R的对应值就随之确定.定义1设D是R2的一个非空子集，称映射/:D->R为定义在D上的二元函数，通常记为zhXy),a,y)wD(或z=j(p),PeD)其中点集Q称为该函数的定义域,x,y称为自变量,z称为因变量.上述定义中，与自变量兀、丿的一对值gy)相对应的因变量z的值，也称为/在点(兀y)处的函数值，记作fix,y),即z=j{x,y).值域:j(D)=[zz=fix,y),(兀,y)wD}.函数的其它符号:z=z(x,y),z=g(x,y)等.关于函数定义域的约定：在一般地讨论用算式表达的多元函数u=f(x)时，就以

15、使这个算式有意义的变元兀的值所组成的点集为这个多元函数的自然定义域.因而，对这类函数，它的定义