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1、四、二次曲面第五节一、曲面研究的基本问题二、旋转曲面三、柱面曲面及其方程第八章一、曲面研究的基本问题定义1.如果曲面S与方程F(x,y,z)=0有下述关系:(1)曲面S上的任意点的坐标都满足此方程则F(x,y,z)=0叫做曲面S的方程,曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的图形.两个基本问题:(1)已知一曲面作为点的几何轨迹时,(2)不在曲面S上的点的坐标不满足此方程建立曲面方程.(2)已知坐标x,y,z间的方程时,研究它所表示的几何形状(有时需作图).故所求方程为例1.求动点到定点方程.特别,当M0在原点时,球
2、面方程为解:设轨迹上动点为即依题意距离为R的轨迹表示上(下)球面.例2.研究方程解:配方得可见此方程表示一个球面说明:如下形式的三元二次方程(A≠0)都可通过配方研究它的图形.其图形可能是的曲面.表示怎样半径为球心为一个球面,或点.定义2.一条平面曲线二、旋转曲面绕其平面上一条定直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面.旋转曲线和定直线分别称为旋转曲面的母线和旋转轴.例如:建立yOz面上曲线C绕z轴旋转所成曲面的方程:故旋转曲面方程为当绕z轴旋转时,若点给定yOz面上曲线C:则有则有该点转到思考：当曲线C绕y轴旋转
3、时，方程如何？例3.试建立顶点在原点,旋转轴为z轴,半顶角为的圆锥面方程.解:在yOz面上直线L的方程为绕z轴旋转时,圆锥面的方程为两边平方直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫做圆锥面。两直线交点叫做圆锥面的顶点，两直线夹角叫做圆锥面的半顶角。例4.求坐标面xOz上的双曲线分别绕x轴和z轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.解:绕x轴旋转绕z轴旋转所成曲面叫做旋转单叶双曲面,所成曲面叫做其方程为旋转双叶双曲面,其方程为三、柱面引例.分析方程表示怎样的曲面.的坐标也满足方程解:在xOy面上，表示圆C,沿
4、圆周C平行于z轴的一切直线所形成的曲面称为圆故在空间过此点作柱面.对任意z,平行z轴的直线l,表示圆柱面在圆C上任取一点其上所有点的坐标都满足此方程,定义3.平行于定直线并沿定曲线C移动的直线l形成的轨迹叫做柱面.表示抛物柱面,母线平行于z轴;准线为xOy面上的抛物线.z轴的椭圆柱面.z轴的平面.表示母线平行于(且z轴在平面上)表示母线平行于定曲线C叫做柱面的准线,动直线l叫做它的母线.一般地,在三维空间柱面,柱面,平行于x轴;平行于y轴;平行于z轴;准线xOz面上的曲线l3.母线柱面,准线xOy面上的曲
5、线l1.母线准线yOz面上的曲线l2.母线四、二次曲面三元二次方程适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅就几种常见标准型的特点进行介绍.研究二次曲面特性的基本方法:截痕法其基本类型有:椭球面、抛物面、双曲面、锥面的图形统称为二次曲面.(二次项系数不全为0)1.椭球面(1)范围：(2)与坐标面的交线：椭圆与的交线为椭圆：(4)当a＝b时为旋转椭球面;同样的截痕及也为椭圆.当a＝b＝c时为球面.(3)截痕:为正数)2.抛物面(1)椭圆抛物面(p,q同号)特别,当p=q时为绕z轴的旋转抛物面.用截痕法讨论：用坐
6、标面与曲面相截，截得坐标原点设它是椭圆抛物面的顶点.与平面的交线为椭圆.与平面不相交.用坐标面与曲面相截截得抛物线椭圆抛物面与平面的交线为抛物线.它的轴平行于轴顶点用坐标面，与曲面相截均可得抛物线.同理当时可类似讨论.zxyo(2)双曲抛物面（马鞍面）(p,q同号)用截痕法讨论：用坐标面与曲面相截，截得一对相交直线设与平面的交线为双曲线.xyzo用坐标面与曲面相截截得抛物线与平面的交线为开口向下的抛物线.顶点以此截痕l为母线,顶点的轨迹L为准线,母线l的顶点在准线上滑动，且母线作平行移动，由此就得到了双曲抛物面
7、.用坐标面，与曲面相截，类似。3.双曲面(1)单叶双曲面椭圆.时,截痕为(实轴平行于x轴；虚轴平行于z轴）平面上的截痕情况:双曲线:虚轴平行于x轴）时,截痕为时,截痕为(实轴平行于z轴;相交直线:双曲线:(2)双叶双曲面双曲线椭圆注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:双曲线单叶双曲面双叶双曲面P18图形4.椭圆锥面椭圆在平面x＝0或y＝0上的截痕为过原点的两直线.①(椭圆锥面也可由圆锥面经x或y方向的伸缩变换得到,见P42)内容小结1.空间曲面三元方程球面旋转曲面如,曲线绕z轴的旋转曲面:柱面如,曲面表示母线平行z
8、轴的柱面.又如,椭圆柱面,双曲柱面,抛物柱面等.2.二次曲面三元二次方程椭球面抛物面:椭圆抛物面双曲抛物面双曲面:单叶双曲面双叶双曲面椭圆锥面:斜率为1的直线平面解析几何中空间解析几何中方程平行于y轴的直线平行于yOz面的平面圆心在(0,0)半径为3的圆以z轴为中心轴的圆柱面平行于z轴的平面思考与练习1.指出下列方程的图形:2.P44题3,10题10答案:在xOy面上作业(3-14)P
