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1、重庆科创职业学院授课教案课名：高等数学(工本0023)教研窒：数理教研室班级：编写时间：课题：第四节空间曲面及其方程教学目的及要求：知道旋转曲面、柱面，了解常见的二次曲面的方程及图形。介绍空间曲线的各种表示形式。是为重枳分、曲面积分作准备的，学生应知道各种常用立体的解析表达式，并简单描图，对投影等应在学习时待别注意。教学重点:1.旋转曲面、柱面2.空间曲线的一般表示形式3.空间曲线在坐标面上的投影教学难点：空间曲线在坐标面上的投影旁批栏:教学步骤及内容：一、曲面方程的概念曲面S和三元方程F(x,y,z)=0满足：(1)曲面S上的任意一点的坐标都满
2、足方程F(x,y,z)二0；(2)不在曲面S上的点的坐标不满足方程F(x,y,z)=0；那么称方程F(x,y,z)=0为曲面S的方程，曲面S称为方程F(x,y,z)=0的图形(见课本P159页图9.23)我们通常知道平面方程式关于x,y,z的三元一次方程，所以平而是曲而:的特殊情形，本节讨论一些常见的含x,y,z的二次方程所表示的曲面，称］之为二次曲面。：二、球面建立以M0(x0,y0,z0)为球心，R为半径的球面方程。设M(x,y,z)是球面上的任意一点(见图9.24),则有=R而M()M=J(a■—兀())2+(y—必))？+(z-z())?
3、旁批栏:所以(x—x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2这就是以点(x(),y(),z°)为球心，R为半径的球面方程。当北二儿二z°=0吋，得球心在原点，半径为R的球面方程为x2+y2+z2=/?2三、柱面动直线1沿给定曲线C平行移动所形成的曲面，称为柱面。直线1称为柱面的母线，定曲线C称为柱面的准线。我们只讨论准线在坐标面内，母线平行于坐标轴的柱面。建立以xoy面上的曲线C；f(x,y)=0为准线，母线平行于z轴的柱面方程。设M(x,y,x)是柱面上的任意一点，过点M的母线与xoy面的交点N—定在准线C上(见图9.26)。点N的坐标为(
4、x,y,0);不论点M的竖坐标刁取何值，它的横坐标x和纵坐标y都满足方程f(x,y)二0,因此所求柱面方程为f(x,y)=0在平面直角坐标系屮，方程f(x,y)=0表示一条平面曲线，在空间直角坐标系中，方程f(x,y)二0表示以xoy面上的曲线；卩(兀刃=。为准线，母线[z=0平行于Z轴的柱僧。类似地，方程h(y,z)=0表示以yoz面上的曲线C':2)=0为准线,母线平行于X轴的柱面；方程g(x,Z)二o表示以xoz面上的曲线r：r(x,z)=0为准线，母线平[y=0行于y轴的柱面。四、旋转曲面旁批栏:平面曲线C绕同一平面上定直线1旋转一周所形
5、成的曲血,称为旋转曲血。定直线称为旋转轴。建立yoz面上的一条曲线C:f(y,z)=0,绕乃轴旋转一周所形成的旋转曲而的方程(见图9.31)设M(x,y,z)为旋转曲面上的任一点，过点M做平面垂直于Z轴，交z轴于点P(0,0,z),交曲线C于点M()(0,)b，Zo),由于点M可以由点M()绕(9.4.1)(9.4.2)又因为M()在曲线C上，所以将(9.4.1),(9.4.2)代入上式，即得旋转曲面方程/(±J，+y2,z)=o可见，求平面曲线f(y,z)=0绕z轴旋转的旋转曲面方程，只要将f(y,z)二0中的y换成土&+2而z保持不变，即得旋
6、转曲面方程。同理，曲线f(y,z)二0绕y轴旋转的旋转曲面方程为+z2,)=0五、几种常见的二次曲面1)椭球面2)单叶双曲面3)双叶双曲面4)椭圆抛物面双曲抛物面双曲抛物而（鞍形曲而）方程为22旁批栏:—=z（〃与9同号）2p2q当p>0,q>0时，其形状如图所示。3.双曲面单叶双曲面方程为222二+丄-―1a2h2c2双叶双曲面方程为222——-1疋b2c2各种图形注意规律特点，可以写出其它的方程表达式。小结与思考：曲面方程的概念，旋转曲面的概念及求法，柱面的概念（母线、准线），了解方程对应的图形形状，并利用截痕法简单地描出图形。作业：见作业本
7、7.3
