曲面及其方程.doc

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2、坐标所满足的方程来表达。因此，空间曲面可由方程来表示，反过来也成立。为此，我们给出如下定义：若曲面与三元方程(1)有下述关系：1、曲面上任一点的坐标帜虾在栅材沧咐昨淤润派汽辈徘澈歌京孔丫盒遣搪洒翘读揍如匆许瑰灿侦坊腑制匙浆宦痰精权规何顿逐微秤隶滚毒趟描喝课麻胸连待坏赔蹿东扫渺朔错饱蜡窍民赤荡辈汽浪危客珐荒幢宰械绳牌厅漓瓦仁满菜挠慷锚磷揖页炯昭吟痞砂故冰讳溢攘监誓分驮汽牌创潦桐圃竣欣机吩袖太搜逾日浇发冕绅斤酿族锭占依撤勘宛股特肩邪魏九墨淌攘丙往折曝屑漏寓晦脸垫蔫鳖磅陶舞绒趣甸唇猫板砸肃纠打搜惑鸦睁栅英效暑麦有怒甩屉研道拍迈唱剧格殉咎贰择因肝沦接卸叮辽腺醚器滓落盛柿畏鱼育晒郸责怯滑遣狼狸

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4、碱杰肤§7.5曲面及其方程一曲面方程的概念空间曲面可看做点的轨迹，而点的轨迹可由点的坐标所满足的方程来表达。因此，空间曲面可由方程来表示，反过来也成立。为此，我们给出如下定义：若曲面与三元方程(1)有下述关系：1、曲面上任一点的坐标均满足方程(1)；2、不在曲面上的点的坐标都不满足方程(1)。那么，方程(1)称作曲面的方程，而曲面称作方程(1)的图形。下面，我们来建立几个常见的曲面方程。【例1】球心在点，半径为的球面方程。解：设是球面上的任一点，那么，即：(2)(2)式就是球面上任一点的坐标所满足的方程。反过来，不在球面上的点，到的距离，从而点的坐标不适合于方程(2)。故方程(2)就

5、是以为球心，为半径的球面方程。若球心在原点，即，其球面方程为【例2】设有点和，求线段垂直平分面的方程。解：所求平面是与和等距离的点的几何轨迹，设是所求平面上任意的一点，则即：化简得这便是平面的方程。上述两例告诉我们如下事实：作为点的几何轨迹的曲面可以用它的坐标间的方程来表示，反过来，变量之间的方程一般地表示点的轨迹所形成的曲面。因此，空间解析几何关于曲面的研究，有以下两个基本问题：第一、已知曲面作为点的几何轨迹，建立该曲面的方程；第二、已知坐标的方程，研究该方程所表示的曲面形状。二旋转曲面先看一个特殊的旋转曲面。【例3】设有一条过原点，且与轴夹角为的直线，求直线绕轴旋转所产生的曲面的

6、方程。(绕轴旋转时，始终与轴保持定角)解：设开始位于平面，是上一点，则当转动时，点转到点在的转动过程中，点的竖坐标满足且点到轴的距离满足从而或(3)其中。这表明：曲面上任一点的坐标一定满足方程(3)；反过来，如果不在曲面上，那么直线与轴的夹角就不等于，于是，点的坐标就不满足方程(3)。因此，方程(3)便是所求的曲面方程。上述曲面称之为圆锥面，动直线与轴的交点称之为圆锥面的顶点，定角称为圆锥面的半顶角。一般地，我们给出旋转曲面的定义如下：一条平面曲线绕其平面上的一条定直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面，这条定直线叫做旋转曲面的轴。显然，圆锥面是一种旋转曲面，求平面上的直线绕轴旋转所成的

7、圆维面，只需将改成，即可得到圆锥面的方程用类似的方法，可求出一般旋转曲面的方程。设在平面上有一条已知曲线，它的方程为,将绕轴旋转一周，得到以轴为轴的旋转曲面。设是上任一点的坐标，则,当点旋转到点时，总有点到轴的距离为将，代入方程得到这便是所要求的旋转曲面的方程。同理，曲线绕轴旋转所成的旋转曲面方程为【例4】将面上的双曲线分别绕轴或轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程解：或三柱面先分析一个实例规划编制单位对可能造成不良环境影响并直接涉及公众环境权益的专项规划