5 空间曲面及其方程

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1、Mar.8Wed.§6曲面及其方程曲面方程的概念几种常见曲面：柱面，旋转曲面二次曲面一曲面方程的概念水桶的表面、台灯的罩子面等．曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹．曲面的实例：曲面方程的定义：(1)曲面S上任一点的坐标都满足方程；(2)不在曲面S上的点的坐标都不满足方程；曲面上的点(x,y,z)的坐标可以表示为两个变量u,v的函数，即也是曲面的方程，称为曲面的参数方程，其中u,v为参数。解根据题意有所求方程为特殊地：球心在原点时方程为0xzyM(R,,)RNyxz.解解根据题意有所求

2、方程为根据题意有图形上不封顶，下封底．解例4方程的图形是怎样的？以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题：（2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状．（讨论旋转曲面）（讨论柱面、二次曲面）（1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程．二几种常见曲面引例.分析方程表示怎样的曲面.的坐标也满足方程解:在xoy面上，表示圆C,沿曲线C平行于z轴的一切直线所形成的曲面称为圆故在空间过此点作柱面.对任意z,平行z轴的直线l,表示圆柱面在圆C上任取一点其上所有点的坐标都满足此方程,1柱面平行定直线并沿定曲线C移动的直线

3、l形成的轨迹叫做柱面.C叫做准线,l叫做母线.xzy0母线F(x,y)=0z=0准线(不含z)M(x,y,z)N(x,y,0)S曲面S上每一点都满足方程；曲面S外的每一点都不满足方程F(x,y)=0表示母线平行于z轴的柱面点N满足方程，故点M满足方程一般柱面F(x,y)=0母线准线(不含x)F(y,z)=0x=0xzy0F(y,z)=0表示母线平行于x轴的柱面一般柱面F(y,z)=0柱面举例抛物柱面平面abzxyo椭圆柱面zxy=0yo双曲柱面zxyo抛物柱面从柱面方程看柱面的特征：（其他类推）实

4、例椭圆柱面//双曲柱面//抛物柱面//定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴．2旋转面曲线CCyzo绕z轴旋转面的方程曲线CxCyzo绕z轴.旋转面的方程曲线C旋转一周得旋转曲面SCSMNzPyzo绕z轴.f(y1,z1)=0M(x,y,z)xS旋转面的方程旋转过程中的特征：如图将代入将代入得方程3锥面以直线通过一定点，一条固定曲线移动所产生的曲面成为锥面。准线顶点x0zy动直线母线定点顶点固定线准线准线为圆周的锥面称为圆锥面。顶点在原点的

5、圆锥面称为正圆锥面。解圆锥面方程正圆锥面：椭圆锥面：试建立顶点在原点,旋转轴为z轴,半顶角为的圆锥面方程.解:在yoz面上直线L的方程为绕z轴旋转时,圆锥面的方程为两边平方正圆锥面：椭圆锥面：三二次曲面三元二次方程适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅就几种常见标准型的特点进行介绍.其基本类型有:椭球面、抛物面、双曲面、锥面的图形通常为二次曲面.(二次项系数不全为0)用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌．研究二次曲面特性的基本方

6、法:截痕法1.球面过球面一点，且与过这点的半径垂直的平面成为切平面，该点称为切点。解：显然整个球面在同一卦限，又由于(1,2,5)在第一卦限，故该球面在第一卦限。2椭球面椭球面与三个坐标面的交线：1).对称性：关于3个坐标面、原点、轴对称；2).有界性：3).曲面截痕：椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.椭球面与平面的交线为椭圆几种特殊情况：旋转椭球面旋转椭球面与椭球面的区别：方程可写为与平面的交线为圆.球面截面上圆的方程方程可写为3抛物面（与同号）椭圆抛物面用截痕法讨论：（1）用坐标面与曲面相

7、截截得一点，即坐标原点设原点也叫椭圆抛物面的顶点.与平面的交线为椭圆.当变动时，这种椭圆的中心都在轴上.与平面不相交.（2）用坐标面与曲面相截截得抛物线与平面的交线为抛物线.它的轴平行于轴顶点（3）用坐标面，与曲面相截均可得抛物线.同理当时可类似讨论.zxyoxyzo椭圆抛物面的图形如下：特殊地：当时，方程变为旋转抛物面（由面上的抛物线绕它的轴旋转而成的）与平面的交线为圆.当变动时，这种圆的中心都在轴上.（与同号）双曲抛物面（马鞍面）用截痕法讨论：设图形如下：xyzo过原点，对称于yoz面和xoz

8、面.zo（1）与平面的交线为双曲线.（2）与平面的交线为开口向下的抛物线.（3）与平面的交线为开口向上的抛物线.实轴为y轴实轴为x轴为两条相交直线4双曲面(1)单叶双曲面椭圆.时,截痕为(实轴平行于x轴；虚轴平行于z轴）平面上的截痕情况:双曲线:虚轴平行于x轴）时,截痕为时,截痕为(实轴平行于z轴;相交直线:双曲线:(2)双叶双曲面双曲线椭圆注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:双曲线单叶双曲面双叶双曲面单叶双曲面图形xyoz平面的截痕是两对相交直线.双叶双曲面xyo环面z绕y轴旋转所