第六节 空间直线及其方程 - Beijing Normal University.ppt

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1、第四节一、空间直线方程二、线面间的位置关系空间直线及其方程第八章一、空间直线方程因此其一般式方程1.一般式方程直线可视为两平面交线，(不唯一)2.对称式方程故有说明:某些分母为零时,其分子也理解为零.设直线上的动点为则此式称为直线的对称式方程(也称为点向式方程)直线方程为已知直线上一点例如,当和它的方向向量如果一个非零向量平行于一条已知直线，则这个向量叫做这条直线的方向向量。L3.参数式方程设得参数式方程:例1.用对称式及参数式表示直线解:先在直线上找一点.再求直线的方向向量令x=1,解方程组,得已知直线的两平面的法向量为是直线上一点.故所给直线的对称式方程为参数式方程为解题思路:

2、先找直线上一点;再找直线的方向向量.是直线上一点二、线面间的位置关系1.两直线的夹角则两直线夹角满足设直线L1,L2的方向向量分别为两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角或直角)特别有:例2.求以下两直线的夹角解:直线L1的方向向量为直线L2的方向向量为二直线夹角的余弦为从而当直线与平面垂直时,规定其夹角为线所夹锐角称为直线与平面间的夹角;2.直线与平面的夹角当直线与平面不垂直时,设直线L的方向向量为平面的法向量为则直线与平面夹角满足直线和它在平面上的投影直︿特别有:解:取已知平面的法向量则直线的对称式方程为直的直线方程.为所求直线的方向向量.垂例3.求过点(1,

3、－2,4)且与平面三、杂例例4.求与两平面x–4z=3和2x–y–5z=1的交线解:所求直线的方向向量可取为利用点向式可得方程平行,且过点(–3,2,5)的直线方程.例5.求直线与平面的交点.解:化直线方程为参数方程代入平面方程得从而确定交点为（1，2，2）.例6.求过点(2,1,3)且与直线垂直相交的直线方程.提示:先求二直线交点P.化已知直线方程为参数方程,代入①式,可得交点最后利用两点式得所求直线方程的平面的法向量为故其方程为①过已知点且垂直于已知直线过直线的平面束方程过直线的平面束方程例7.求直线在平面上的投影直线方程.解：过已知直线的平面束方程从中选择使其与已知平面垂直

4、,得这是投影平面即从而得投影直线方程故应有：这是给定的平面解：相交,求此直线方程.的方向向量为过A点及面的法向量为则所求直线的方向向量方法1利用叉积.所以一直线过点且垂直于直线又和直线例8.设所求直线与L2的交点为待求直线的方向向量方法2利用所求直线与L2的交点.即故所求直线方程为则有代入上式,得由点向式得所求直线方程而1.空间直线方程一般式对称式参数式内容小结直线2.线与线的关系直线夹角公式:平面:L⊥L//夹角公式：3.面与线间的关系直线L:作业（3-12）P363，4，5，7，9,11,14,15P36题2,10,16习题课思考与练习