【培优练习】《数列的函数特性》(数学北师大必修5).docx

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1、《数列的函数特性》培优练习1．已知数列{a}满足a＝1，aan(n∈N)，则a＝()＝2n1n＋1n＋10A．64B．32C．16D．82．(2012·北京高考)某棵果树前n年的总产量Sn与n之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，m的值为()A．5B．7C．9D．1122n＋mn＋33．已知数列{an}中，a1＝1，且满足递推关系aaan＋1＝n(n∈N＋)．a＋1(1)当m＝1时，求数列{an}的通项公式an；(2)当n∈N＋时，数列{an}满足不等式an＋1≥an恒成立，求m的取值范围．4.已知函数f(x)

2、=,设f(n)=an(n∈N+).求证：≤an<1.5．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2＋2n，数列{bn}的前n项和Tn＝2－bn.求数列{an}与{bn}的通项公式．6．设函数f(x)＝log2x－logx2(0＜x＜1)，数列{an}满足f(2an)＝2n(n∈N＋)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)判断数列{an}的单调性．答案和解析1．【答案】Bnn＋1an＋2解：因为an＋1an＝2，所以an＋1an＋2＝2，两式相除得an＝2.又a1a2＝2，a1＝1，所以a2＝2，a10a8a6a44则a8·a6·a4·a2

3、＝2，即10＝25＝32.a2．【答案】Cnn解：依题意n表示图像上的点(n，Sn)与原点连线的斜率，由图像可知，当n＝9时，n最大，故m＝9.22a＋3a＋13．解：(1)∵＝1，由annn∈N＋)，得n＋1＝(man＋1an＋1＝2an＋1an＋1＝2an＋1，an＋1∴an＋1＋1＝2(an＋1)，∴数列{an＋1}是以2为首项，公比也是2的等比数列．于是an＋1＝2·2n－1，∴an＝2n－1.(2)∵an＋1≥an，而a1＝1，知an≥1，2∴2an＋3an＋m2－2an，≥an，即m≥－anan＋1依题意，有m≥－(

4、an＋1)2＋1恒成立．∵an≥1，∴m≥－22＋1＝－3，即满足题意的m的取值范围是[－3，＋∞)．4.［解析］解法一：因为an-1=-1=-<0,an-=-＝≥0,所以≤an<1.解法二：an===1-<1,an+1-an=-==.由n∈N+得an+1-an>0，即an+1>an,所以数列{an}是递增数列.所以an的最小值为a1=,即an≥.所以≤an<1.5．解：∵当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2＋2n)－[2(n－1)2＋2(n－1)]＝4n，当n＝1时，a1＝S1＝4也适合，∴{an}的通项公式是an＝4

5、n(n∈N＋)．∵Tn＝2－bn，∴当n＝1时，b1＝2－b1，b1＝1.当n≥2时，bn＝Tn－Tn－1＝(2－bn)－(2－bn－1)，∴2bn＝bn－1.1∴数列{bn}是公比为2，首项为1的等比数列．1n－1∴bn＝2.6．解：(1)由已知得log2a－log2a2＝2n，2nn12∴an－＝2n，即an－2nan－1＝0，an解得an＝n±n2＋1.∵0＜x＜1，即0＜2an＜1＝20，nn2＋．∴a＜0，故a＝n－n＋1(n∈N)(2)∵an＋1n＋1n＋12＋1a＝2n－n＋1n＝n＋n2＋12＋1＜1，＋1n＋1n而an

6、＜0，∴an＋1＞an，即数列{an}是关于n的递增数列．