关于矩阵AB和BA的特征值与特征向量的讨论.doc

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1、关于矩阵AB和BA的特征值与特征向量的讨论福建农林大学尤天革一、特征值与特征向量的概念1、特征值与特征向量定义：设V是数域F上的n维向量空间，A为其线性变换，A是A在基下的方阵表示。若λ∈F及非零向量∈V使A=λ或Ax=λx（x是在基下的坐标列），则称λ为A或A的特征值或特征根，称为A的属于λ的特征向量，x称为A的特征向量。2、结论：设A是数域F上的线性变换，A是线性变换A在基，，…，下的矩阵，则线性变换A与其对应的n阶矩阵A有相同的特征值，且n阶矩阵A的特征向量X是A的特征向量在基，，…，下的坐标。特征值与特征向量是本书教学的一个中心，它是本书

2、前面所学知识的一个应用，有关特征值与特征向量的一些习题的证法或求法应当是前面所学的总结。下面举6个例子说明。二、特征值与特征向量的几个例子例1试证：当n阶方阵A、B均为对称阵时，AB与BA有相同的特征值。证明1：由特征多项式︱AB－λE︱=︱︱=︱︱=︱BA－λE︱于是AB与BA有相同的特征多项式，从而它们有相同的特征值。证明2：已证明过，方阵与它的转置方阵有相同的特征值因此AB与有相同的特征值，而==BA于是AB与BA有相同的特征值证明3：设X是方阵AB对应于特征值λ的特征向量，则λX=ABX=X=X由定义知道，AB与有相同的特征值，而与BA有

3、相同的特征值，因此AB与BA有相同的特征值。例2试证n阶方阵A、B有一个可逆时，AB与BA有相同的特征值。证明1：不妨设A可逆（由对称性，B可逆同样）︱AB－λE︱=︱︱=︱︱=︱A︱︱BA－λE︱︱︱=︱BA－λE︱因此AB与BA有相同的特征多项式，则AB与BA有相同的特征值。证明2：因为有等式=两边取行列式得==而=︱λE－AB︱，=︱λE－BA︱（此处使用了一个结论，即若A、B、C、D都是n阶方阵，且AC=CA，则有=，此处不证明）所以︱λE－AB︱=︱λE－BA︱，即AB与BA有相同的特征值。例3试证：当A、B均为n阶方阵时，AB与BA有

4、相同的特征值。证明1：（1）先证：n阶方阵AB-E与BA-E具有相同的可逆性其实，只要证AB-E可逆时，考察=====E。（2）证：当A、B均为n阶方阵时，AB与BA有相同的特征值。分二部进行，设λ是AB的一个特征值，（ⅰ）当λ=0时，有0=︱AB－0Ｅ︱=︱AB︱=︱BA︱=︱BA－λＥ︱因此，λ=0也是BA的特征值。（ⅱ）当λ≠0时，利用与有相同的可逆性，因为︱︱=︱︱=0，≠0则︱︱=0，推出︱︱=0因此︱︱=︱︱=0所以λ也是BA的特征值证明2：（定义法）设λ是AB的一个特征值，X是对应于λ的一个特征向量则=λX，等式两边左乘B，得到⑴（

5、ⅰ）当BX=0时，λX==0，而X≠0，则λ=0，于是︱AB－0E︱=︱AB︱=︱BA︱=︱BA－0E︱=0所以λ=0是BA的特征值。（ⅱ）当BX≠0时，由⑴式根据定义，有非零向量BX就是BA对应于特征值λ的特征向量所以λ也是BA的特征值。证明3：（使用矩阵的标准性证明）设R（A）=r，则存在可逆阵P、Q使PAQ==于是==C==C其中记C==又C=，C=︱︱==︱T︱其中T=，（n-r）阶对角阵︱︱==︱T︱其中C与C有相同的特征多项式，而︱︱=︱︱=︱︱=︱P︱︱AB－λE︱︱︱=︱AB－λE︱同理可得︱︱=︱BA－λE︱于是AB与BA有相同

6、的特征多项式因此AB与BA有相同的特征值。例4设A、B均为n阶方阵，且A的n个特征值两两互异，试证明：A的特征向量恒为B的特征向量的必要与充分条件是AB=BA。证明：设A的特征向量恒为B的特征向量。令，，…，是A的分别属于其不同特征值，，…，的特征向量，则，，…，线性无关。故P=（，，…，）可逆，且AP=P由题设，可令B=（i=1，2，…，n）则BP=P，于是BAP=BP=P=P=ABP因P可逆，故AB=BA。反之，设AB=BA。令是A的对应于其特征值的特征子空间（i=1，2，…，n），由于，，…，两两互异，故是一维的，于是可令=L（）由于AB=

7、BA，所以AB=BA==，即∈故=（i=1，2，…，n）。因此A的特征向量都是B的特征向量。例4的另一种叙述（用线性变换叙述）设V是数域F上的n维向量空间，σ，τ是V的线性变换，σ的特征值互异。证明：σ的特征向量都是τ的特征向量的必要与充分条件是στ=τσ。证明：设，，…，为σ的n个互异的特征值，则σ的特征子空间（i=1，2，…，n）都是一维的。设σ的特征向量都是τ的特征向量。因为σ可以对角化，即V中有基，，…，，使σ关于这个基的矩阵为A=即，，…，是σ的分别属于特征根，，…，的特征向量，从也是τ的特征向量：，i=1，2，…，n，于是τ关于基，，

8、…，的矩阵为B=则AB=BA，所以στ=τσ。反之，设στ=τσ，令ξ为σ的属于特征根的特征向量，则ξ∈由dim=1知=L（ξ）。另一方