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《矩阵特征值与特征向量的计算和应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、矩阵特征值与特征向量的计算和应用摘要:文章给出求解矩阵特征值与特征向量的一种简易方法：列行互逆变换方法，并且通过对ｎ阶矩阵的特征值和特征向量的研究,针对ｎ阶矩阵的特征值和特征向量的应用进行了3个方面的探讨,并给出了一类矩阵特征值和特征向量求解的方法． 关键词：矩阵；特征值；特征向量；互逆变换30 ComputationandApplicationofEigenvalueandEigenvectorofMatrixAbstract:Thisarticleispresentedforsolvingthem
2、atrixeigenvalueandeigenvectorofasimplemethod：reciprocaltransformation；bythestudyingofeigenvalueandeigenvectorofmatrix,hisarticlediscussapplicationoftheirthreeaspectsduetoeigenvalueandeigenvectorofmatrix.andalso,givenacategoryeigenvaluesandeigenvectorssolvingmethods.Keywords:m
3、atrix；eigenvalue；eigenvector；reciprocaltransformation.30 ）目录1引言………………………………………………………………………………………………（1）2用列行互逆变换法计算矩阵的特征值与特征向量……………………………（1）3矩阵的特征值和特征向量的应用…………………………………………………（9）3.1阶矩阵,,的特征值和特征向量………（9）3.2阶矩阵的高次幂求解………………………………………………………（11）3.3矩阵特征值反问题的求解……………
4、………………………………………（12）4结语………………………………………………………………………………………（13）参考文献……………………………………………………………………………………（14）谢辞…………………………………………………………………………………………（15）30 1引言常用矩阵的特征值的方法是求特征方程的全部根λ1,λ2,…,λr(互异)，而求相应的特征向量的方法则是对每个λi求齐次线性方程组的基础解系,两者的计算是分离的,一个是计算行列式,另一个是解齐次线性方程组,计算量都较大.本
5、文介绍求矩阵的特征值与特征向量的一种简易方法,只用一种运算———矩阵运算,列行互逆变换法是一种可同步求出特征值与特征向量的方法,而且不需要考虑带参数的特征矩阵.此种方法计算量少,且运算规范,不易出错.2用列行互逆变换法计算矩阵的特征值与特征向量定义1[7]把矩阵的下列三种变换称为列行互逆变换：1)互换、两列,同时互换、两行；2)第列乘以非零数(),同时第行乘；3)第列倍加到第列,同时第行倍加到第行.定理1 为任意n阶可对角化矩阵,若,其中,,,，则为的全部特征值,为的对应的特征向量．证由行初等变换等价于左乘初等阵,列变等价于右乘初等阵的性质及行列
6、互逆变换的定义,知为若干初等阵乘积,当然可逆,即存在可逆矩阵,使,故．因为,，30 所以，则,所以,，因此，该方法求出的为的特征值,为的对应特征值的特征向量．由于定理1求解时,总会遇到形如或形式的矩阵化对角阵问题,为此给出具体方法：或其中则,为的分别对应特征值和的特征向量；,为的分别对应特征值和的特征向量．例1求的特征值和特征向量．解30 所以特征值为;对应的特征向量为．例２求的特征值和特征向量．解所以特征值特征向量分别为,,.下面总结出类似于例2的一类矩阵的
7、特征值和特征向量．例求的特征值和特征向量．30 解则的特征值为,对应的特征向量为,,.例求且的特征值和特征向量．解30 则的特征值为对应的特征向量为，,．下面给出定理1的推广定理：定理２[7]为任意阶方阵,若，其中为约当矩阵,为约当标准形．,,，则为的特征值,为的对应特征值的特征向量.证由所学知识可知必相似一约当矩阵,由定理1中化简方法,则有,即,其中,，,所以 ，故有 ．所以为的特征值,为的对应特征值的特征向量．例３求的特征值和特征向量．30
8、 解 所以特征值,对应特征值的特征向量,对应特征值的特征向量．３矩阵的特征值和特征向量的应用大学线性代数
