ramanujan公式与riemann zeta函数在正奇数点上的值_张南岳

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1、第12卷第1期数学进展Vol.12,No.11983年1月ADVANCFSINMATHEMATICSJan.,1983Ramanujan公式与RiemannZeta函数在正奇数点上的值＊张南岳在Ramanujan的“No忧books”［1］中，有以下包含Zeta函数在奇数点上的值的两个公式：a~(__!_r(l－均＋±~二）＝C-p)k(_!_~（1-2走）十三＝~二），走＞1,(A)2"=le2na-I}2"=1e3716-t/_L(_!_,(z什l)+L:1)(4a）赴飞2n=1n2k＋且（e2""-1)/一

2、＿！＿＿（＿＿！＿~创刊＋2:2-1:+1~)(-4卢）赴＼.2I［斗l]宁’（-1)ior?iB2;B和主；i(a-1:-2;+1+（一β｝k-2j+l)=0，再＞O,(B)归。（2i)t(2k+2-2i)l其中B；是·Bernoulli数，正数a,fl满足条件时＝or2,~二’表示当是是奇数2m一1时，最后一项应是（-l)mor?"'B~m(m!)2Hardy[2］证明了公式（A).1972年E.Grosswald[3J证明了公式（B).在此以前，LGrosswald[4］还给出了以2度＋1)的一个表达式．本文的

3、目的是：(1）用Hardy证明公式（A）的方法证明公式（B);(2）用Siegel证明Dedekind函数方程的方法［订简便地证明公式（B);(3）由公式（B）导出＇（均＋I)的表达式，并在此过程中得出一些其他关系式．§1.Ramanujan公式的证明为了用Hardy证明公式（A）的方法证明公式（B），我们先引述证明公式（A）的Hardy方法．已知当Re(s)＝σ＞1时，rzptBEFI／’飞、，／乍’』／飞、，／d,--,,α3d*1981年8月22日收到L学62数进展12卷由Mellin变换句句「σ＋i""－－－

4、－－－＝－一＝」－I'(s)'(s)a-'ds.e＂一12'1tiJa-ioo将“易为2na，并乘以n2.t-1得到_u－且4「σ＋，田’」－二＝~T(s)l;(s）－」：：；：－：－－(2α）－＇ds.el”-12πiJσ「回n＇一吨’A若设向（←土夭二，(1)则有唱「σ＋，由内（a）＝乒－：－Ir(s)?;(r)C(s一句＋1)(2a)-sdr,(2)i.'Jrtdσ－’”其中σ〉苟，为确定起见，设σ＝2是寸如果我们取右图所示的路径，并且由于当lm(s)==t→∞时，r(s)=O(e-Altl)'A>0,'(

5、s)=0(ltl1),l>O,根据留数定理，（2）式右边的积分可以转移到垂线σ＝＝一－－－－2上，被积函数f(s)=r(s),CsnC~·－2屯＋1)(2a)-sl。σ2·在两垂线σ＝一÷，σ＝2走＋＋之间有以下极点：f(s）在s=0,s=2k有一级极点，其留数分别为Res（／（心，o)='CsnCs一2赴＋1)(2α）－＇I，司=-+cCI-2走），图1Res(f(s),2心＝T(s)C(s)(2a)-sl卢2.t"""'T(2k)C(2k)(2a)-2-t.若k>l，则以s）在s=1的一级极点与C(s一项＋1）在

6、s==-1的一级零点相抵消，于是（2）式为r二生＋•圈内（←－＋,(1-2k）十f(2k）＇闯间飞去＇－lt-，.，仰5(3)在上式的积分中作变数替换τ＝2走－s，那么有_r-}+ioo_r2t+t＋向手τ＼_f(s）的＝手才-f(2走－r)C(2k-r)C(l-r)(2cx）川岛dτ－i.1'1J－吉－i•,t.刑•it＋专－iro根据函数方程C(l-s)＝俨何－＇cos~以圳s)'1期张南岳：Ramanujan公式与RiemannZeta函数在正奇数点上的值63/~＼k(2f(2k-'l'）~（2k-z-)'(

7、1-z-)(2a)•lk=（一一）f(r)?;(r)?;(r-2是十1)（三巳）a2/J＝（一：YI忧忧（r一片十1)(2p)-rr(2k)C(2k)(2a）叫＝士（－-f)o一2θ．将这个式子代人。）式，就得到内（α）＝一卡（1一2k)++（－~r,(l一2k)+（－~rφ1c_(8),f!Pa~（七（1一2走）＋句“））＝（一川（1,(1一2k)＋φiP)).(4)这就是Ramanujan公式（A).若设协）=ak(+s(l一2赴）＋φk(a)),(5)那么。〉式可写成F1c.（α）=(-l)kFk（份，（

8、走＞1).(6)特别地，当走为奇数，α＝fl＝π时，那么Frc(ar)=0，即主五三＝一七（1-2走）＝专(7)当吃＝l时，f(s)=I'(s)l;(s)l;(s一1)(2a)-s.s=1是f(s）的一级极点，主主留数为R田（f(s),I)=T(s),(s-1)(2a)-sls=l=~T(IX(O)=－~.t.a斗a于是当是＝1时，不难看出与（