bloch群、k群及zeta函数特殊值

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1、摘要本文主要研究关于Ｂｌｏｃｈ群与虬群存在的关于ｒｅｇｕｌａｔｏｒ的一个交换图。首先在引言中介绍问题的背景。然后，第一章叙述证明所需要的基本概念和命题，包括Ｂｌｏｃｈ群与飓群的定义和一些性质。第二章中依次构造出交换图中出现的三个映射，然后给出了交换图的交换性的证明。第三章给出了两个应用，其中一个是否定了Ｂｒｏｗｋｉｎ关于Ｚｅｔａ函数的特殊值与ｒｅｇｕｌａｔｏｒ的关系的猜想，另一个是对一个特殊虚二次域验证了著名的Ｌｉｃｈｔｅｎｂａｕｍ猜想。关键词：Ｂｌｏｃｈ群；Ｋ群；ｒｅｇｕｌａｔｏｒ；Ｚｅｔａ函数ＡｂｓｔｒａｃｔＩｎｔ

2、ｈｉｓｐａｐｅｒ，ｗｅｍａｉｎｌｙｓｔｕｄｙａｃｏｍｍｕｔａｔｉｖｅｄｉａｇｒａｍｏｆｒｅｇｕｌａｔｏｒｓｂｅｔｗｅｅｎｔｈｅＢｌｏｃｈｇｒｏｕｐａｎｄｔｈｅ飓ｇｒｏｕｐ．Ｆｉｒｓｔｌｙ，ｗｅｉｎｔｒｏｕｄｕｃｅｔｈｅｂａｃｋｇｒｏｕｎｄｏｆｔｈｅｐｒｏｂｌｅｍ．Ｔｈｅｎ，ｉｎｃｈａｐｔｅｒ１ｗｅｓｔａｔｅ，ｓｏｍｅｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓａｎｄｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎｓｆｏｒｔｈｅｐｒｏｏｆ，ｉｎｃｌｕｄｉｎｇｔｈｅｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓｏｆｔｈｅＢｌｏｃｈｇｒｏｕｐａｎｄ凰ｇｒｏｕｐａｓｗｅｌｌａｓ

3、ｔｈｅｉｒｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ．ＩｎｃｈａｐｔｅｒＩＩ，ｗｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｔｈｅｔｈｒｅｅｍａｐｓｉｎｔｈｅｄｉａｇｒａｍａｎｄｔｈｅｎｗｅｓｈｏｗｔｈａｔｔｈｅｙａｌｅｃｏｍｍｕｔａｔｉｖｅ．ＩｎｃｈａｐｔｅｒＩＩＩ，ｗｅｐｒｅｓｅｎｔｄｉｓｓｃｕｓｉｏｎｓｏｎｔｗｏｒｅｌａｔｉｖｅｐｒｏｂｌｅｍｓ．Ｉｎｔｈｅｆｉｒｓｔｏｎｅ，ｗｅｄｉｓｐｒｏｖｅｓａｃｏｎｊｅｃｔｕｒｅｏｆＢｒｏｗｋｉｎｏｎｒｅｌａｔｉｏｎｂｅｔｗｅｅｎｔｈｅｓｐｅｃｉａｌｖａｌｕｅｏｆＺｅｔａｆｕｎｃｔｉｏｎａｎｄｒｅｇｕｌａ

4、ｔｏｒ，ａｎｄｉｎｔｈｅｓｅｃｏｎｄｏｎｅｗｅｖｅｒｉｆｙｔｈｅｆａｍｏｕｓｅＬｉｃｈｔｅｎｂａｕｍ’Ｓｃｏｎｊｅｃｔｕｅｆｏｒａｓｐｅｃｉａｌｑｕａｄｒａｔｉｃｃｏｍｐｌｅｘｆｉｅｌｄ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｂｌｏｃｈｇｒｏｕｐ；Ｋｇｒｏｕｐ；ｒｅｇｕｌａｔｏｒ；Ｚｅｔａｆｕｎｃｔｉｏｎ青岛大学硕士学位论文引言数域的Ｚｅｔａ函数在整点处的取值与数域上的一些经典量，如理想类群、单位根群、Ⅳ．群、ｒｅｇｕｌａｔｏｒ等有重要关联。设Ｆ是数域，为有理数域的ｎ次扩域，其整数环为０Ｆｏ我们可以定义Ｆ的Ｚｅｔａ函数为ｃＦ（ｓ

5、）５莩丽１ｏ遍历ｐＦ的非零理想，Ⅳａ＝８（ｐＦ加）。此级数在Ｒｅ（ｓ）＞１时收敛，并且可延拓为复平面上的亚纯函数，满足一个简单的函数方程。令７．１和ｒ２分别是Ｆ的实位与复位，几＝ｒ１＋２ｒ２．设ｄＦ为数域Ｆ的判别式，定义盈（ｓ）＝２您（蒜）８／２ｒ（ｓ／２）ｒｌｒ（ｓ）您∞）则白（ｓ）＝（Ｆ（１—８）定义ｔ￡＝仃：，ｌ“＋您、－，ｐ，Ｆ１、Ⅳ件您其中若ｌｉ是实位，则ｌｉ＝ｌｏｇｌｘ［；若如是复位，则ｌｉ＝２１０９ｌｘｌ．那么像ｚ（啡）是秩为ｒｌ＋仡一１的格。设Ｅ１，…，Ｅｒ。＋ｒ２—１是Ｏ；．／ｔｏｒｓｉｏｎ的

6、基，则Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔｒｅｇｕｌａｔｏｒ定义为矩阵（如（勺））１≤ｔＪ≤ｎ＋ｒ２的任意（ｒ１＋ｒ２—１）×（ｒｌ＋ｒ２一１）的子式的行列式的绝对值，那么有著名的类数公式：其中ｈＦ为类数，Ｗ为单位根的个数。利用白（ｓ）满足的函数方程可得ｌｉｍＯ＋－ｓＦＲｈ了＿）１２ｒｌ（８Ｃｔｆ，．脚（川酬＝等，设引如＝鼢，‘言ｉｆｍ＝２ｎ＋１＞０：ｉｆｍ＝２ｎ＞０：ｉｆｍ＝０．则（Ｆ（ｓ）在一ｍ处的零点的阶为ｄｒ，Ｉ．特别，若ｒ２＝０，即Ｆ为全实域，则由Ｓｉｅｇｅｌ的一个结果｛１５１知７Ｔ－ｎ（‘＋１）ｌ如１１／２ＣＦ（１＋

7、１）是有理数，其中Ｚ是正的奇数。对Ｓｉｅｇｅｌ的结果应用函数方程有，当Ｆ为全实域，ｚ是正的奇数时，（Ｆ（－－１）是有理数。我们面临的一个问题是如何解释这些有理数。对ｍ＝１的特殊情形，Ｔａｔｅ在【１４】中提出如下猜想：令Ⅳ是Ｆ在代数闭包Ｆ中的单位根群，Ｇ＝Ｇａｌ（Ｆ／Ｆ）是Ｇａｌｏｉｓ群。对任意整数ｍ定义Ｇ在ｗ上的作用为仃率ｚ＝盯ｍｚ．记‰为ｗ带有此Ｇ作用，ｔ‰（Ｆ）＝ｌ孵，则Ｂｉｒｃｈ－Ｔａｔｅ猜想为Ｍ＿１）ｌ＝帮．若ｒ２≠０，情形如何呢？比如虚二次域。于是，Ｌｉｃｈｔｅｎｂａｕｍ猜想一般的类数公式为８－÷一ｍⅡｎＯ—ｔ

8、１ＩＬ／ＰＩ・～特别，Ｂｏｒｅｌ计算出‰（ＯＦ）的秩为ｒａｎｋＫ．（Ｏ加｛０’迁肛２ｍｎ＝２ｍ＋１连续上同调赠１（ｓＬ（ｏＦ０ｚ酞），Ｒ）的不可分解空间ｐ＋１的维数为ｄｍ。由Ｈｕｒｅｗｉｔｚ映射Ｋ２ｍ＋１（ＯＦ）＿Ｈ２ｍ＋Ｉ（ＧＬ（ＯＦ）），导出同态ｒ：鲍ｍ＋ｌ（ＯＦ）＿Ｈｏｍ（１２ｍ＋１，Ｒ）．Ｂｏｒｅｌ进一步指出