从高考视角探究学生数学思维能力培养

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1、从高考视角探究学生数学思维能力培养　　摘要：本文以普通高中课程标准为指导，以高中数学课程中模块的数列知识为载体，以往年高考试题中的数列问题为切入点，探析其教学方法和手段，实现培养学生数学思维能力和提高数学教学质量的目标。关键词：数列；思维能力；教学方法形成性思维是培养学生具有社会责任感、学会批判性思考的基本环节和要素，数学思维能力在其中起着独特的作用。从学校教育的角度而言，高中各门课程的教学都承载着培养学生思维能力的重任。中华人民共和国教育部颁布的《普通高中数学课程标准（实验稿）》在课程基本理念中指出“注重提高学生的数学思维能力”。表明数学课程对学生数学思维能力培养的重要性。围绕这一主题，本人

2、试图通过对高考数学中的数列问题的分析，反思教与学对学生数学思维能力培养过程的利弊，进而促进学生数学思维能力培养和数学教学质量的提高。纵观历年高考复习资料和高考试卷，涉及数列问题的解决方法主要采用：直接运用公式法、观察法与归纳法、累加累乘法、辅助数列法、倒序相加法、错位相加法、裂相相消法、分组求和法。下面选择性地给出5个案例分析，探究数学思维能力的培养。8一、直接运用公式法直接运用公式是解答高考数列试题的常用方法之一，通常直接运用等差数列的求和公式与等比数列的求和公式。案例1（2011年全国理4）设Sn为等差数列a■的前n项和，且a1=1，公差d=2，sk+2-sk=24，则k=A．8B.7C.

3、6D.5分析：因为知道sk+2-sk=24，直接运用公式得到ak+1+ak+2=24，从而代入公式得到4k+4=24，则得到结论k=5。解：因为sk+2-sk=ak+1+ak+2又ak+2=ak+1+d且ak+1=a1+kd则ak+1+ak+2=4k+4又sk+2-sk=24所以k=5【评析与教学启示】该类试题主要用于考查学生对数列概念和基本公式内涵的掌握，从数学思维能力的角度而言，主要检测学生发现关系的能力、发现属性的能力和数学通则通法的能力。在教学过程中，需要引导学生理解概念的内涵和外延，灵活巧妙地应用数学变式，恰当有效地应用公式。二、倒序相加法所谓倒序相加法，是指在一个数列之中，与首末两

4、项距离相等的两项之和等于首末两项之和。在求数列时，通常将所求数列的各项分别顺序和逆序列出，将这两个顺序和逆序排列的数列对应项相加得到所求数列和的2倍，以实现问题的解决。8案例2（2003上海春，12）设f（x）=■.利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得f（-5）+f（-4）+…+f（0）+…+f（5）+f（6）的值为_____分析：首先，从全局视角观察所求多项式中各项的间的关系，发现以“0”为中心，5与-4、6与-5形成了“x与1-x”的对应关系，因此以寻找f（x）与f（1－x）的关系为突破口，实现解决问题的目标。解：依题意可知，f（1－x）=■，所以，f（x）+f（1－x）=■

5、，于是，采用倒序相加法知：S=f（－5）+f（－4）+…+f（0）+…+f（5）+f（6）=3■.【评析与教学启示】倒序相加法适用于首相、公差未知，通项为函数的解析表达式，且需要求出多个函数值和的情形。一般隐藏有“相等距离两项之和等于首末两项之和”的条件。该类题目主要用于检测考生观察能力和模式识别能力。教学时需要注意引导学生不断地经历直观感知、观察发现、反思与构建等思维过程。这些过程是数学思维能力的具体体现，它们有助于学生对客观事物中蕴含的数学模式作出思考和判断，在形成理性思维能力中发挥着独特的作用。三、错位相减法8所谓错位相减法，是指一个数列是两个数列之积且这两个数列一个为等差数列，另一个为

6、等比数列，对此类题目通常采用错位相减法以解决问题。案例3（2010新课标宁夏、海南；黑龙江理科17）数列a■满足a1=2，an+1-an=3·22n-1（1）求数列a■的通项公式。（2）令bn=nan，求数列b■的前n项和sn。分析：本题通过观察并由递推关系式知an+1-an=3·22n-1，由此可以将an改写为a1+a2+…+an-（a1+a2+…+an-1），整理得到an=32n-1；要求解sn，很容易得到sn=1·2+2·23+3·25+…+n·22n-1，观察发现以sn与22sn作为突破口，则22sn-sn=（1-22）sn=2+（23+25+…+22n-1）-n22n-1，则：sn=

7、■[（3n-1）·22n-1+2]【评析与教学启示】运用错位相减一般是只知道首项，但是知道某两个相邻的数之差为某一个数，并且an-an-1，an-1-an-2，…a2-a1成一定的规律，即得到一个为等差数列，另一个为等比数列，用错位相减法便可以求出数列的前n项和。错位相减法需要学生不断地思考，展开想象，构建数学思维能力，这是培养学生用基础知识解决问题的能力，更是培养学生活学活用，在面对问题时多方面