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时间:2020-11-25
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1、分式恒等变形方法一、通分:直接通分;逐步通分;移项通分;分组通分;分母因式分解再通分。例1.若,,且,求的值。(1/8)例2.若,,求的值。(3)例3.求证:例4.设正数x,y,z满足不等式++>1,求证x,y,z是某个三角形的三边长【分析与证明】原不等式可变形为z(x^2+y^2-z^2)+x(y^2+z^2-x^2)+y(x^2+z^2-y^2)-2xyz>0因式分解得(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)>0所以三个括号内的数全正或者1正2负,因为x,y,z全正,所以不可能1正2负(证明略)所以三个括号内均为正数,所以x,y,z是某个三角形的
2、三边长例5.求分式,当时的值.【解析】先化简再求值.直接通分较复杂,注意到平方差公式:,可将分式分步通分,每一步只通分左边两项. 原式例6.若实数a,b,c满足,求证:.【证明】:由已知得到,有,则a,b,c中一定有两个数互为相反数。例1.化简:.【解析】原式 例2.计算:.【解析】设+. 解之得 ∴.同理:,.∴原式+++.用因式分解再通分法比较好补充:化简分式:例3.化简.【解析】按照分式混合运算法则进行化简: .例4.化简:【解析】原式例1.已知,求证例2.已知,求的值【解答】
3、:由;可得;答案为1;例3.已知,,求代数式的值。()方法二、约分:分子、分母先因式分解再约分例4.已知分式(1)在什么条件下此分式有意义?(2)在什么条件下分式的值为正、为负?(此问要解一元二次不等式,超纲)(3)分式的值能否为0?【分析与解答】:(1)x,y的绝对值都不是1(2)原式=(1+x)(1-x)/(x+1)(x-1)(y+1)(y-1)=1/(1-y^2)所以当y的绝对值小于1且x的绝对值不等于1时,分式为正当y的绝对值大于1且x的绝对值不等于1时,分式为负。(3)不能例5.化简:【解析】原式例6.化简:【解析】原式例1.化简:【解析】原
4、式 补充:化简.【解析】按照分式混合运算法则进行化简:补充:化简:【解析】原式例2.化简:.(a+b+c)方法三、倒数法例1.若,则=___________.【解析】解析:由,故.例2.⑴已知,则=_________.⑵若,则=_________.⑶若,则=__________.【解析】⑴本小题是一个简单题,也是这类题的一个最基本、最原始的模型!,.⑵本题在例题的基础上,对已知条件稍作变形,待求式也稍作变形.⑶本题在上个例题的已知条件上稍作变形,实质是一样的!..点评:倒数法是指利用已知条件中隐含的倒数关系,或者对已知条件、待求式作倒数变形,
5、以便快速、准确地求解问题的一种方法,对于本题而言,已知条件中存在(或隐含)倒数关系,这类题目比较简单.补充:⑴已知,求分式的值.⑵如果,那么的值是_________.【解析】⑴(∵) . ⑵由, 故.例1.若,则________.【解析】由,故原式.例2.设,则的值是( )A.1B.C.D.【解析】由可知,.原式.例3.己知,求的值。补充:已知,求的值例4.设,求的值.【解】:两边同除以,因式分解得到;答案为2或-3;例5.已知,,,且,求x的值。例1.已知,求下列的值方法四、等比定理、设k法例2.已知:,求k;例3.如果,求的值。例4
6、.若,则的值是_______或________.【解答】:0或-2;例5.若,且,求的值。(8或-1)例6.若,且,求的值;【分析】等比性质;x=y=z或x+y+z=0;原式=8或-1例7.已知,求证。补充:已知,且,求的值。(9)例8.已知,且,求.(0)例9.已知,且,求证或。例10.已知,求的值。(1)方法五、巧变“1”例1.若,求证:.【解析】解法1:因为,故,,. 则 , 注意到,故上式. 解法2:因为,故,,.则.解法3:由可得,则.点评:使用各种各样的代入方法进行化简,题目赋予的信息要充分利用.三种解法的思
7、想是一样的,但是细微之处需要大家用心揣摩,尤其是“”在其中的使用,更是值得细细品味.当然,我们也可以通分后再代入计算,但是存在一个问题——过于烦琐,有兴趣的学生可以尝试一下这种思路.例2.已知,求证:.【解析】,即,故,则,故.等式两边同时除以,可得,进而,则,故,从而.故,展开并化简,可得,即,从而.故.点评:本题的证明过程非常复杂,其中有一个步骤很关键,就是拆分部分分式的时候,我们从左边的式子里面提出两个,从而让整个式子得到简化.补充:若,求证:.例1.若,解关于x的方程.例2.已知,求的值。答案:1例3.设a、b、c均为正数,且a+b+c=1,求
8、证。(结合均值不等式)方法六、换元法例4.化简分式:【解析】原式中只出现了和的形式,而且,因此
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