初中奥数系列：3.3.1分式的恒等变形.题库学生版

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1、分式恒等变形（竞赛部分）—、化分式为部分分式的和【例1】（4级）（第10届华罗庚金杯决赛）下面的等式成立：x2-y2+4x-6y-5=（x-y-A）（x+y+B）,求A、B.【例2】（4级）若代数式x（兀+l）（x+2）（兀+3）+卩恰好能分解为两个二次整式的乘积（其屮二次项系数均为1,且一次项系数相同），则”的最大值是.【例3】（5级）若二^=上-+亠，求M、W的值.cr-1a-a+1【例4】（3级）（06年宁波市重点中学提前考试招生试题）已知一J与一纟一的和等于秽匚，求a,b.x+2x-2f一4【例5】（4级）（2004年第15届培训题）已知正整数”满足丄

2、+丄二丄，则a+b的最大值是.ab4【例6】（4级）若对于±3以外的一切数，———二仝一均成立，求加.x+3x-3对一9【例7】行级）若关于兀的恒等式詈岂二总-忌中，陽为最简分式，且有"求N.廊】（4级）将是化为部分分式.【例9】（4级）化占占为部分分式.【例10】（4级）将下列分式写成部分分式的和的形式:3x+4—x—2【例11】（4级）将下列分式写成部分分式的和的形式:2x3-3x2+6x+1(++1)(++3)【例12】(5级)将下列分式写成部分分式的和的形式:4兀3—13兀2+3/+8(x+1)(兀一2)(兀—l)?【例13】（4级）计^算•x~6兀一

3、10+3x+2—x—2x*—4【例14】（4级）将下列分式写成部分分式的和的形式:x4+x3+3x2一1(X+1)"兀一1)二、分式的恒等证明【例15】（4级）（1994广东潮州市初中数学竞赛）求证:-ab+b2-—=(<72+ab+/?2)(/-ab+/?2)【例16】（5级）已知x、y>z为三个不相等的实数，且兀+丄=歹+丄=乙+丄，求证：x2y2z2=1.yzx【例17】（5级）已知：-=求证:bda2+b~2+c-2+d~2_a2+b2+c2+J2abed【例18】（5级）若乳=口a+bh—cC—Cly=,z=,求证：(l+x)(l+y)(l+z)=(l

4、-Q(l-y)(l-z)b+cc+a【例19】（5级）若abc=1,求证:ab11-1+a+db1+b+be【例20】（5级）（2003年第1届“创新杯"数学邀请赛初中二年级第二试试题）已矢U++=1,求证：abc=1•1+a+ab1+b+bc1+c+ca【例21】（6级）（1986年中国数学奥林匹克竞赛赛前培训试题）己知」^匚+―^匚+亠匚=0,be-erca_b~ab-c求证:=0.【例22】（6级）己知总+士+Fr。，求证：冷+為+占"下列四个数【例23】（5级）（2002年北京市屮学生数学竞赛初二复赛题二）已知abcHO,证明:（d+b+c）'（b-c-

5、叭（c-dfH'中至少有_个不小于§abcabcabcabc■尼,lzb、abccibr。b，于ub亠、〒ab【例24】（5级）

6、_1丿；口—I—=3,——=7,—-4—=16>—rH—=42,求旺：一-4—=20。xy对xxxyxy'【例25】（5级）（武汉等•五市初中数学竞赛试题）已矢]a+b=3,ab=,c+d=4.cd=2,且^^+^^+」一+」一*。求证：b+c+dc+d+ad+a+ha+Z?+c（1）—-—4-—-—+—-—4-———=7B-7/?+c+dc+d+ad+a+ba+/?+c（2）―-—+—-—+—-—+―-—=49B-68b+c+d

7、c+d+ad+a+ba+b+c【例26】（5级）已知「^+―+丄==0,be一erac-b~ab-C求证:abc74+[hc-a~y（^ac-b2y（肪一疋）=0三、分式与数论【例27】（4级）将写成两个因式的积，使它们的和为y+-,求这两个式子。baba【例28】（6级）求最大的正整数八使得«3+100能被n+10整除。【例29】（6级）在1□2009这2009个正整数屮，使心2不是既约分式的〃共有多少个?H+1