四年级奥数——高斯求和.doc

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1、第3讲高斯求和　　德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：　　1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？　　老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：　　1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。　　1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。于是，小高斯把这道题巧算为　（1+100）×100÷2＝5050。　　小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。　　若干个数排成

2、一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。例如：（1）1，2，3，4，5，…，100；（2）1，3，5，7，9，…，99；（3）8，15，22，29，36，…，71。　　其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。　　由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2。项数=（末项-首项）÷公差+1。末项=首项+公差×（项数-1）

3、。对于任意一个项数为奇数的等差数列来说，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项和末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数。即为中项定理【例题讲解及思维拓展训练】例11＋2＋3＋…＋1999＝？分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。由等差数列求和公式可得　　原式=（1＋1999）×1999÷2＝。　　注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。【思维拓展训练一】1、11＋12＋13＋…＋31＝？分析与解：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项

4、是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。原式=（11+31）×21÷2=441。2、3＋7＋11＋…＋99＝？分析与解：3，7，11，…，99是公差为4的等差数列，项数=（99－3）÷4＋1＝25，原式=（3＋99）×25÷2＝1275。例2求首项是25，公差是3的等差数列的前40项的和。解：末项=25＋3×（40-1）＝142，和=（25＋142）×40÷2＝3340。利用等差数列求和公式及求项数和末项的公式，可以解决各种与等差数列求和有关的问题。【思维拓展训练二】1、求首项是34，公差是5的等差数列的前50项的和。例3在下图中，每个最小的等边

5、三角形的面积是12厘米2，边长是1根火柴棍。问：（1）最大三角形的面积是多少平方厘米？（2）整个图形由多少根火柴棍摆成？分析：最大三角形共有8层，从上往下摆时，每层的小三角形数目及所用火柴数目如下表：由上表看出，各层的小三角形数成等差数列，各层的火柴数也成等差数列。解：（1）最大三角形面积为　（1＋3＋5＋…＋15）×12＝［（1＋15）×8÷2］×12＝768（厘米2）。　（2）火柴棍的数目为　　3＋6＋9+…+24＝（3＋24）×8÷2=108（根）。答：最大三角形的面积是768厘米2，整个图形由108根火柴摆成。【思维拓展训练三】1、盒子里放有三只乒乓

6、球，一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球，将它变成3只球后放回盒子里；第二次又从盒子里拿出二只球，将每只球各变成3只球后放回盒子里……第十次从盒子里拿出十只球，将每只球各变成3只球后放回到盒子里。这时盒子里共有多少只乒乓球？分析与解：一只球变成3只球，实际上多了2只球。第一次多了2只球，第二次多了2×2只球……第十次多了2×10只球。因此拿了十次后，多了　2×1＋2×2＋…＋2×10＝2×（1＋2＋…＋10）＝2×55＝110（只）。　　加上原有的3只球，盒子里共有球110＋3＝113（只）。　　综合列式为：（3-1）×（1＋2＋…＋10）＋3＝2×［（1＋1

7、0）×10÷2］＋3＝113（只）。例题4建筑工地有一批砖，码成如下图的形状，最上层2块砖，第2层6块砖，第3层10块砖…，依次每层都比它上面一层多4块砖，已知最下一层2106块砖，问中间一层有多少块砖？这堆砖共有多少块？【思维拓展训练三】1、求从1到2000的自然数中，所有偶数之和与所有奇数之和的差。2、连续九个自然数的和为54，则以这九个自然数的末项作为首相的连续九个自然数的和是多少？【课堂巩固训练题】　　1.计算下列各题：（1）2＋4＋6＋…＋200；（2）17＋19＋21＋…＋39；（3）5＋8＋11＋14＋…＋50；（4）3＋10＋17＋24＋…＋

8、101。2.求首项是5，末项是93，公差是4的等差数