小班奥数(1高斯求和)

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1、高斯求和德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了i道题让同学们计算：1+2+3+4+…+99+100=?老师岀完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：1+100=2+99=3+98=-=49+52=50+51o1〜100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。于是，小高斯把这道题巧算为(1+100)X100—2=5050。小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。若干个数排成一列称为数列

2、，数列屮的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。斤项与前项Z差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。例如：(1)1,2,3,4,5,…，100；(2)1,3,5,7,9,…，99；(3)8,15,22,29,36,…，71。其中(1)是首项为1,末项为100,公差为1的等差数列；(2)是首项为1,末项为99,公差为2的等差数列；(3)是首项为8,末项为71,公差为7的等差数列。由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和二(首项+末项)X项数一2。例11+2+3+…+1999=?分析与解：这串加数1,2,

3、3,1999是等差数列，首项是1,末项是1999,共有1999个数。由等差数列求和公式可得原式二(1+1999)X1999—2=1999000。注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题1=1屮的各个加数是否构成等差数列。例211+12+13+・・・+31=?分析与解：这串加数11,12,13,…，31是等差数列，首项是11,末项是31,共有31-11+1=21(项)o原式二(11+31)X214-2=441o在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。根据首项、末项、公差的关系，可以得到项数二(末项-

4、首项)一公差+1,末项二首项+公差X(项数-1)O例33+7+11+・・・+99=?分析与解：3,7,11,…，99是公差为4的等差数列，项数二(99-3)4-4+1=25,原式二(3+99)X254-2=1275o例4求首项是25,公差是3的等差数列的前40项的和。解：末项二25+3X(40-1)=142,和二(25+142)X40一2=3340。利用等差数列求和公式及求项数和末项的公式，可以解决各种与等差数列求和有关的问题。例5在下图屮，每个最小的等边三角形的面积是12厘米2,边长是1根火柴棍。问：(1)最大三角形的面积是多少平方

5、厘米？(2)整个图形由多少根火柴棍摆分析：最大三角形共有8层，从上往下摆时，每层的小三角形数冃及所用火柴数目如下表：¥11)1$m1at11i1HEIS]1!1101111火柴数也成等斧数列。解：(1)最大三角形面积为(1+3+5+…+15)X12出上表看出，各层的小三角形数成等差数列，各层的=[(1+15)X84-2]X12=768(厘米2)o2)火柴棍的数日为3+6+9+・・・+24=(3+24)X84-2=108(根)。答：最人三角形的血积是768厘米2,整个图形由108根火柴摆成。例6盒子里放有三只厅乓球，一位魔术师第一次从盒

6、子里拿出一只球，将它变成3只球后放冋盒子里；第二次又从盒子里拿出二只球，将每只球各变成3只球后放冋盒子里……第十次从盒子里拿出十只球，将每只球各变成3只球后放冋到盒子里。这时盒子里共有多少只乒乓球？分析与解：一只球变成3只球，实际上多了2只球。第一次多了2只球，第二次多了2X2只球……第十次多了2X10只球。因此拿了十次后，多了2X1+2X2H——2X10=2X(1+210)=2X55=110(只)。加上原有的3只球，盒子里共有球110+3=113(只)。综合列式为：(3-1)X(1+2+-+10)+3=2X[(1+10)X10宁2]

7、+3=113(只)。练习1(1)2+4+6+…+200；(2)17+19+21+・・・+39；(1)5+8+11+14+・・・+50；(4)3+10+17+24+・・・+101。2.求首项是5,末项是93,公差是4的等差数列的和。3•求首项是13,公差是5的等差数列的前30项的和。4•时钟在每个整点敲打，敲打的次数等于该钟点数，每半点钟也敲一下。问：时钟一昼夜敲打多少次？5.求100以内除以3余2的所有数的和。6.在所有的两位数中，十位数比个位数大的数共有多少个?高斯求和答案1.(1)10100；(2)336；(3)440；(4)78

8、0。2.1127。提示:项数二(93-5)・4+1二23。3.2565。提示：末项=13+5X(30-1)=158。4.180次。解：(1+2+-+12)X2+24=180(次)。5.1650o解：2+5+8+・・・+9