数值课后题答案.doc

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1、现代数值计算方法习题答案李继云习题一1、解:根据绝对误差限不超过末位数的半个单位,相对误差限为绝对误差限除以有效数字本身,有效数字的位数根据有效数字的定义来求.因此49×10-2:=0.005;=0.0102;2位有效数字.0.0490:=0.00005;=0.00102;3位有效数字.490.00:=0.005;=0.0000102;5位有效数字.2、解:=3.1428……,=3.1415……,取它们的相同部分3.14,故有3位有效数字.=3.1428-3.1415=0.0013;===0.00041.3、解:的近似值的首位非0数字=1,因此有

2、

3、<=×10-4,解之得

4、n>=5,所以n=5.4、证:5、解:(1)因为4.4721……,又

5、

6、=

7、

8、=0.0021<0.01,所以4.47.(2)的近似值的首位非0数字=4,因此有

9、

10、<=0.01,解之得n>=3.所以,4.47.6、解:设正方形的边长为,则其面积为,由题设知的近似值为=10cm.记为的近似值,则<=0.1,所以<=0.005cm.7、解:因为,22现代数值计算方法习题答案李继云所以.9、证:由上述两式易知,结论.10、解:代入求解,经过计算可知第(3)个计算结果最好.11、解:基本原则为:因式分解,分母分子有理化、三角函数恒等变形……(1)通分;(2)分子有理化;(3)三角函

11、数恒等变形.12、解:因为,,所以

12、

13、<=于是有

14、

15、=

16、

17、=10

18、

19、<=

20、

21、=

22、

23、=10

24、

25、<=类推有

26、

27、<=即计算到,其误差限为,亦即若在处有误差限为,则的误差将扩大倍,可见这个计算过程是不稳定的.习题二1、解:只用一种方法.(1)方程组的增广矩阵为:→→→,,.(2)方程组的增广矩阵为:→→→,,.(3)适用于计算机编程计算.22现代数值计算方法习题答案李继云2、解:第一步:计算U的第一行,L的第一列,得第二步:计算U的第二行,L的第二列,得第三步:计算U的第三行,L的第三列,得第四步:计算U的第四行,得从而,=由,解得=(6,-3,23/5,-955/370)T.由

28、,解得=(1,-1,1,-1)T.3、(1)解:首先检验系数矩阵的对称正定性,这可以通过计算其各阶顺序主子式是否大于零来判断.22现代数值计算方法习题答案李继云=3>0,=2>0,=4>0,所以系数矩阵是对称正定的.记系数矩阵为A,则平方根法可按如下三步进行:第一步分解:A=LLT.由公式计算出矩阵的各元素:因此,L=.第二步求解方程组LY=b.解得Y=(,,)T.第三步求解方程组LTX=Y.解得X=(0,2,1)T.(2)解:首先检验系数矩阵的对称正定性,这可以通过计算其各阶顺序主子式是否大于零来判断.=3>0,=2>0,=6>0,所以系数矩阵是对称正定的.记系数矩阵为

29、A,则平方根法可按如下三步进行:第一步分解:A=LLT.由公式计算出矩阵的各元素:22现代数值计算方法习题答案李继云因此,L=.第二步求解方程组LY=b.解得Y=(,,)T.第三步求解方程组LTX=Y.解得X=(,,)T.4、解:对,;对,,,;对,,,,,.所以数组A的形式为:求解方程组LY=b.解得Y=(4,7,)T.求解方程组DLTX=Y.解得X=(,,)T.5、解:(1)设A=LU=计算各元素得:,,,,,,,,.求解方程组LY=d.解得Y=(1,,,,)T.求解方程组UX=Y.解得X=(,,,,)T.22现代数值计算方法习题答案李继云(2)设A=LU=计算各元素

30、得:,,,,.求解方程组LY=d.解得Y=(17,,)T.求解方程组UX=Y.解得X=(3,2,1)T.6、证:(1)(2)相同.因为此方程组的系数矩阵为严格对角占优矩阵,所以雅可比迭代法和相应的高斯-赛德尔迭代法都收敛.(1)雅可比迭代公式:高斯-赛德尔迭代公式:(2)雅可比迭代公式:高斯-赛德尔迭代公式:7、(1)22现代数值计算方法习题答案李继云证:因为此方程组的系数矩阵为严格对角占优矩阵,所以雅可比迭代法和相应的高斯-赛德尔迭代法都收敛。(2)雅可比迭代法:写出雅可比迭代法公式:取=(-3,1,1)T,迭代到18次达到精度要求,=(-3.999,2.999,1.9

31、99)T.高斯-赛德尔迭代法:写出高斯-赛德尔迭代法公式:取=(-3,1,1)T,迭代到8次达到精度要求,=(-4.000,2.999,2.000)T.8、SOR方法考试不考。9、证明:雅可比法的迭代矩阵为:,解得,所以雅可比迭代法不收敛.高斯-赛德尔法的迭代矩阵为:,求得,,则,所以高斯-赛德尔迭代法不收敛.22现代数值计算方法习题答案李继云10、证明:雅可比法的迭代矩阵为:,求得,,,则,所以雅可比迭代法不收敛.高斯-赛德尔法的迭代矩阵为:,求得,,则,所以高斯-赛德尔迭代法收敛.11、证明:当-0.5

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