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1、1、设x〉0,X的相对谋差为求lnx的课差。［解］设T＞0为x的近似值，则有相对误差为＜(%)=5,绝对误差为，⑴=府,从而In兀的误差为£*(lnx)=
2、(lnx*)'p(x*)==S,相对误差为£：(Inx)=山竺=厶xx2、设x的相对误差为2%,求*的相对误差。［解］设/为x的近似值，则有相对误差为＜U)=2%,绝对误差为=2%
3、x*从而兀"的误差为s*(xn)=(xny.£(/)==2n%-Zw,x=x相对误差为＜(xn)=£昨)=2n%oX)"2、当x=1-1,2时,f(x)=0-3,4,求/⑴的二次插值多项式。厶2(切=儿(X-Xj)(x-X2)(兀0-“)(兀
4、0—兀2)(兀—勺)(兀一兀2)(兀］-XqXXj-X2)(兀一兀0)0—兀
5、)(兀2_%0)(兀2_坷)［解］=Ox(x+1)(%一2)(1+1)(1—2)+(一3)x(x-l)(x+l)(2—1)(2+1)O=°o0=at解得v~=a：_3_~2~从而一如r+2)+冷)=
6、W19、求一个次数不高于4次的多项式P(x),使它满足P(0)=Pz(0)=0,p(l)=pz(l)=l,p(2)=1o［角军］设P(x)=a4x4+a3x3+a2x2+aAx+a(),贝UP'(x)=4a4x3+3a3x2+2a2x+ax,再由P(0)=Pf(0)=0,P(l)=Pf(l)=1>P(2)=l
7、可得：0=P(0)=a。0=P'(0)=a{<1=P(l)=5+①+d?+a+a01=P'(x)=4a4+3a3+2a2+1=P(2)=I65+Sa3+4a2+2d］+a01—=aP(x)=1x4-3X3+9x2=x(x2-6x+9)=x(x_3)42444第三章函数逼近与计算17、求a、b使^[ax^b-sx^dx为最小，并与1题及6题的一次逼近多项式误差作比较。江3n『x2dx=—,d()=Fsinxdx=1乳7Txsinxdx=(-xcosx)l(j-R-cosxclx=1,可得71271'~87T224~b1a丄a=—(4一龙)=0.6644解得:b=2(/r-3)=
8、0.11487T18、/(x),g(x)€Cl[a,b],定义(a)(/,g)=(广(x)g©)d“(b)(/,g)=(广(x)g©)dx+/⑷g(a)。问它们是否构成内积？[解](小因为/(%)=0=>(/,/)=[lfx)]2dx=0^fx)=0,但反Z不成立,所以不构成内积。(b)构成内积。第四章数值积分与数值微分11、用下列方法计算积分f虫，并比较结果。4y1)龙贝格方法；(2)三点及五点高斯公式；3)将积分区间分为四等分，用复化两点高斯公式。[解]『生=iny
9、；=ln3=1.0986Jy第五章常微分方程数值解法1h10、证明解yr=/(x,y)的下列差分公式儿+]=
10、空(儿+儿一])+才(4冗+]-冗+3)鳥)是二阶的，并求出截断误差的首项。[证明]因为儿+1=yn+hy；+—+—K+，,,>/ihh儿厂儿-阮+2*一6*+•••'几“+忧+亍;+…,力2冗一严冗-/?冗+亍叮+…，所以1h~（yn+儿一1）+—（4y”+i一y„+3儿-）1h2h3=牙（儿+儿一力冗+可冗一百）叮+…）22o2、+-[4（X+矽：+了*+…）-冗+3（y：-娥+空*+•••）]，从而比较系数可1/?2/?3hTh2=-（2儿-hyfn+—冗-+…）+丁（6冗+也+—疗+…）22o42】,h2n19/?3”，=儿+力儿+—yfl■儿+…/；3ig/；35得差分公
11、式具有二阶精度，并且截断误差首项为^v：-^-yf：=~y^624811、导出具有下列形式的三阶方法：儿+1=儿+°1儿-1+。2儿-2+/2@）冗+b[yfn_[+仇冗_2）。[解]因为儿+】=/72/73力4=儿+力儿+9儿+,儿+加）4）+•••,2o24A2胪力4"儿-酬+尹;-訂+刃用+…,儿-2儿-2创+字心字y：+警曾+•••y”_2/ty：+2『y：_牛X+牛y黒+…■1=儿-饥+亍儿+石冗+…,冗一2"-2血冗+字*-警+…二冗-2hy：+21"-<曾+…,儿+5儿_]+。2儿-2+h(bQ冗+b儿+仇冗_2)2I4=。。儿+a[儿-4；+牛冗-—)*+牛y«4
12、)+…]+色[儿一2/2冗+2/i$*_牛*+牛元羽+…].h~//所以+/2{仇冗+$[冗一饭；+石-y；+盲y：r+…]2o4/73+仇[冗-2忧+2心;—半-厝+…]}ftfh2=(a()4-ax+^2)儿+(_e_2°2+%+b]-I-b2)hyrn+(%+4a2-2b、-4b2)—yntlA3A4+(—%—86f2+3/?
13、+12/?2)—+(Q
14、+16^2+4b]—32/?->)—y^}+…624从而若公式具有三阶精度，则必须有：+d[+^2=1—a】一2
