数值计算课后习题答案.doc

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1、习题一解答1.取3.14,3.15,,作为π的近似值,求各自的绝对误差,相对误差和有效数字的位数。分析:求绝对误差的方法是按定义直接计算。求相对误差的一般方法是先求出绝对误差再按定义式计算。注意,不应先求相对误差再求绝对误差。有效数字位数可以根据定义来求,即先由绝对误差确定近似数的绝对误差不超过那一位的半个单位,再确定有效数的末位是哪一位,进一步确定有效数字和有效数位。有了定理2后,可以根据定理2更规范地解答。根据定理2,首先要将数值转化为科学记数形式,然后解答。解:(1)绝对误差:e(x)=π-3.14=3.…-3.14=0.00159…≈0.0016。相对误差:有效数字:因

2、为π=3.…=0.…×10,3.14=0.314×10,m=1。而π-3.14=3.…-3.14=0.00159…所以│π-3.14│=0.00159…≤0.005=0.5×10-2=所以,3.14作为π的近似值有3个有效数字。(2)绝对误差:e(x)=π-3.15=3.…-3.14=-0.…≈-0.0085。相对误差:有效数字:因为π=3.…=0.…×10,3.15=0.315×10,m=1。而π-3.15=3.…-3.15=-0.…所以│π-3.15│=0.……≤0.05=0.5×10-1=所以,3.15作为π的近似值有2个有效数字。(3)绝对误差:相对误差:有效数字:因为

3、π=3.…=0.…×10,,m=1。而所以所以,作为π的近似值有3个有效数字。(4)绝对误差:相对误差:有效数字:因为π=3.…=0.…×10,,m=1。而所以所以,作为π的近似值有7个有效数字。指出:①实际上,本题所求得只能是绝对误差限和相对误差限,而不是绝对误差和相对误差。②为简单计,本题相对误差没有化为百分数。③在求出绝对误差后,按定义求有效数字是基本功,必须掌握。绝对不允许有了定理后就不会根据定义讨论。因此,本类问题的解答应当是两种方法都熟练掌握的。实际上,根据基本概念分析讨论问题始终是最重要的方法,由于不同的作者会提出不同的定理系统,因此,掌握根据最本元的定义讨论问题

4、的方法是非常重要的。④祖冲之(公元429年─公元500年)是我国杰出的数学家,科学家。南北朝时期人,汉族人,字文远。生于宋文帝元嘉六年,卒于齐昏侯永元二年。祖籍范阳郡遒县(今河北涞水县)。在世界上最早计算出π的真值在3.(朒数)和3.(盈数)之间,相当于精确到小数第7位,这一纪录直到15世纪才由阿拉伯数学家阿尔.卡西打破。祖冲之还给出π的两个分数形式:(约率)和(密率),其中密率精确到小数第7位,在西方直到16世纪才由荷兰数学家奥托重新发现,比祖冲之晚了一千多年,数学史学界主张称“密率”为“祖率”。⑤近似数的有效数字只能是有限位。⑥近似数的误差分析中采用近似数x而不是其准确数,

5、准确数是未知的。⑦常出现德错误是,第一,不进行具体计算,结果不可靠;第二,两个分数近似值(尤其第二个)取的数位不够,结果有效数位计算错误;第三,认为分数就是精确数,就有无穷多有效数字。2、用四舍五入原则写出下列各数的具有五位有效数字的近似数。346.7854,7.,0.,0.分析:本题实际上指出,按要求截取的近似数符合有效数字定义,相关数位上的数字都是有效数字。解答方法简单,直接写出就可以,不需要也不应该做形式转化(化为科学计数法形式)解:346.7854≈346.79,7.≈7.0000,0.≈0.,0.≈0.60030。指出:注意0。只要求写出不要求变形。3、下列各数都是对

6、准确数进行四舍五入后得到的近似数,试分别指出他们的绝对误差限和相对误差限和有效数字的位数。。分析:首先,本题的准确数未知,因此绝对误差限根据四舍五入规则确定。其次,应当先求绝对误差限,再求相对误差限,最后确定有效数字个数。有效数字由定义可以直接得出。解:由四舍五入的概念,上述各数的绝对误差限分别是由绝对误差和相对误差的关系,相对误差限分别是有效数字分别有3位、4位、4位、4位。指出:本题显然是直接指出有效数位、直接写出绝对误差,用定义求出相对误差。4.计算的近似值,使其相对误差不超过0.1%。解:设取n个有效数字可使相对误差小于0.1%,则,而,显然,此时,,即,也即所以,n=

7、4。此时,。5、在计算机数系F(10,4,-77,77)中,对,试求它们的机器浮点数及其相对误差。解:其相对误差分别是。6、在机器数系F(10,8,L,U)中,取三个数,试按两种算法计算的值,并将结果与精确结果比较。解:精确计算得:第一种算法按从小到大计算,但出现了两个数量级相差较大的数相加,容易出现大数吃小数.而第二种算法则出现了两个相近的数相减,容易导致有效数位的减少。计算结果证明,两者精度水平是相同的。***在机器数系F(10,8,L,U)中,取三个数,试按两种算法计算的值,并将结果与

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