数值计算课后习题答案(全)

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1、习题一解答1．取3.14，3.15，，作为π的近似值，求各自的绝对误差，相对误差和有效数字的位数。分析：求绝对误差的方法是按定义直接计算。求相对误差的一般方法是先求出绝对误差再按定义式计算。注意，不应先求相对误差再求绝对误差。有效数字位数可以根据定义来求，即先由绝对误差确定近似数的绝对误差不超过那一位的半个单位，再确定有效数的末位是哪一位，进一步确定有效数字和有效数位。有了定理2后，可以根据定理2更规范地解答。根据定理2，首先要将数值转化为科学记数形式，然后解答。解：（1）绝对误差:e(x)=π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…≈0.0016。相对

2、误差：有效数字：因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.14＝0.314×10，m=1。而π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…所以│π－3.14│＝0.00159…≤0.005=0.5×10－2＝所以，3.14作为π的近似值有3个有效数字。（2）绝对误差:e(x)=π－3.15＝3.14159265…－3.14＝－0.008407…≈－0.0085。相对误差：有效数字：因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.15＝0.315×10，m=1。而π－3.15＝3.14159265…－3.15＝－0

3、.008407…所以│π－3.15│＝0.008407……≤0.05=0.5×10－1＝所以，3.15作为π的近似值有2个有效数字。（3）绝对误差:相对误差：有效数字：因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，，m=1。17而所以所以，作为π的近似值有3个有效数字。（4）绝对误差:相对误差：有效数字：因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，，m=1。而所以所以，作为π的近似值有7个有效数字。2、用四舍五入原则写出下列各数的具有五位有效数字的近似数。346．7854，7．000009，0．0001324580，0．600300分析：

4、本题实际上指出，按要求截取的近似数符合有效数字定义，相关数位上的数字都是有效数字。解答方法简单，直接写出就可以，不需要也不应该做形式转化（化为科学计数法形式）解：346．7854≈346．79，7．000009≈7．0000，0．0001324580≈0．00013246，0．600300≈0．60030。指出：3、下列各数都是对准确数进行四舍五入后得到的近似数，试分别指出他们的绝对误差限和相对误差限和有效数字的位数。。17分析：首先，本题的准确数未知，因此绝对误差限根据四舍五入规则确定。其次，应当先求绝对误差限，再求相对误差限，最后确定有效数字个数。有效数字由定义可以直接得

5、出。解：由四舍五入的概念，上述各数的绝对误差限分别是由绝对误差和相对误差的关系，相对误差限分别是有效数字分别有3位、4位、4位、4位。4.计算的近似值，使其相对误差不超过0.1％。解：设取n个有效数字可使相对误差小于0.1％，则，而，显然，此时，，即，也即所以，n=4。此时，。5、在计算机数系F(10,4,-77,77)中，对，试求它们的机器浮点数及其相对误差。解：其相对误差分别是。176、在机器数系F(10,8,L,U)中，取三个数，试按两种算法计算的值，并将结果与精确结果比较。解：精确计算得：第一种算法按从小到大计算,但出现了两个数量级相差较大的数相加,容易出现大数吃小数

6、.而第二种算法则出现了两个相近的数相减,容易导致有效数位的减少。计算结果证明，两者精度水平是相同的。***在机器数系F(10,8,L,U)中，取三个数，试按两种算法计算的值，并将结果与精确结果比较。解：17第一种算法是按从小到大的顺序计算的，防止了大数吃小数，计算更精确。精确计算得：显然，也是第一种算法求出的结果和精确结果更接近。7、某计算机的机器数系为F(10,2,L,U)，用浮点运算分别从左到右计算及从右到左计算试比较所得结果。解：从左到右计算得从右到左计算得从右到左计算避免了大数吃小数，比从左到右计算精确。8、对于有效数，估计下列算式的相对误差限17分析：求和差的相对误

7、差限采取先求出和差的绝对误差限再求相对误差限的方法。求积商的相对误差限采取先求每一个数的相对误差限再求和的方法。解：因为都是有效数，所以则9、试改变下列表达式，使其计算结果比较精确（其中表示x充分接近0，表示x充分大）。(1)；(2)；(3)；(4);(5)。分析：根据算法设计的原则进行变形即可。当没有简单有效的方法时就采用泰勒展开的方法。解：(1)；(2)；(3)17或(4)(5)10、用4位三角函数表，怎样算才能保证有较高的精度？解：根据，先查表求出再计算出要求的结果精度较高。1711、利用求方程的