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1、第5章数值分析课后习题全解第5章：解线性方程组的直接方法1.证明：由消元公式及A的对称性得⑵①］a八2第=aij-aTVji=5」八；故A2对称2.证明：(1)因A对称正定，故aii二（Aej，引）＞0,/=l,2,,zz其中(0,・・・，0丄0"・・,())丁为第i个单位向量.(2)由A的对称性及消元公式得W!lWI2…fd~d；U22…%••••d2■■■■••_Unn_■dn■_dn_I、j=2,…,najl^11ajiaT=aijaU=aT'f二a\。21]Sia\显然厶非其异,从而对任意的xHO,有厶［XHO,（x,厶A以X）=（4x,A4X）＞（）（由A的lE定性）aw
2、，而d]]>0,故短正定.3.证明市矩阵乘法简单运算即得证.4.解设有分解「42_「1伏_3-213a211禹2532a331属-16—1^41由公式<®+匕,7=2,3,…‘ci==2,3,・・・j?_1英中b「a「5分别是系数矩阵的主对角线元素及卜•边和上边的次対角线元素•故冇內=4,爲=72禺=,02=-2-739Q7色=—，03=—71385cr4=—413从而有2-2215-139T85131312—3)1201357725+儿加右13“207t52故兀=1，兀3==1，二兀31313「77'5.解(1)设U为上三角阵0001010-30-2171-101100因uux.+工叫
3、jXj=dj,故"1U\U2…%~d；U22…比2”兀2d2••••••%.■■■■百.■■■dn_d厂为U”兀兀=——A——,i=n-l,n-2,…，1当U为下三九阵时W11W22Un2/-I得，坷=2W11~^UijXjX―9：=2,3,・・・,n.(2)除法次数为n,乘法次数为l+2+...+(n-l)=n(n-l)/2故总的乘法次数为n+n(n-1)/2=n(n+1)/2.⑶设U为上三角阵Q“=S侧S也是上三角阵•山511$12U22nnk=i+j=i+1,i+2,•…,n;i=n・l,n-2,・•1当u为下三角阵时，由-1工UikSkj,i=2,3,...,n;j=1,2
4、,...,i・16.证明⑴因A是对称正定阵，故存在唯一的分解A=L〃，其中L是具有正对角元素的下三角阵.从而A~[=(LZT)_,=(Zf)_,L=(L_l)7L_,(A■)T=[(L_,)T]r=(L_,)Tr1=犷故人"是对称炬阵.又匚'非奇异，故对任意的xH(),有Z/xH(),故x'A-1X=xT(Ul)T=(L_1x)r(L_1x)>0故A-1是对称正定矩阵，即A'1也对称正定.⑵由A对称正盯，故A的所有顺序主子式均不为零，从而A有唯一的Doolittle分解A=LU.XU=unun1%其小D为对三角阵，U°为单位上三角阵，于是A=UL=DLU(}£d2■■■_dn—药一■■■
5、■■■丄丄故D=%=q>o,d尸牛>o匕-1•_丄_丄7=(££)2)(£D^)t=LLt又由分解的唯一性即得a=a7，=[/^dZ/^o=L从而有乂山A的对称正定性知A=DLL(i=2,3,…,n)1■■1i%A=LDZZ=ZZ?£)iZ21-3-110003107.0■100、-124-2001010-150001_'10-150001—013-8.0■10-30233001101-1-11100-2_'10-150001013—&0■10-300-3190-21700-4-31-1017.解[AII]=->丄其中l=Z为三角元为正的卜三角矩阵.100--03:231_34_3010
6、11：0-11419217->0013.33385542500013333J4102316_851785171000；33641130100；85~~n85170010!1915380001；85178517314585178517A_1=4853385198538510n61751711723168517411385173885174585170.04705890.3882353-0.2235294-0.03529410.5882353-0.35294120.2941176-0.0588235-0.27058820.4823529-0.03529410.0470589-0.94117
7、650.7647059-0.47058820.29411768.解设有分解_2-1-12-1-12-1-12-1-12—1%—1m一1务-1a、01021A1AiA由公式%=axcx=axp{®+e，(i=2,3,4,5)素，则有Cj=a1,(/=2,3,4)a】=2,3456亠23=—,3—,C4&=5C1，02=203二30严401=—12934:_5其中勺，q,c;•分别是系数矩阵的主角线元素及其下边和上边的次对角线元rfi
