数值计算课后习题答案(全)

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1、习题一解答1．取3.14，3.15，，作为π的近似值，求各自的绝对误差，相对误差和有效数字的位数。分析：求绝对误差的方法是按定义直接计算。求相对误差的一般方法是先求出绝对误差再按定义式计算。注意，不应先求相对误差再求绝对误差。有效数字位数可以根据定义来求，即先由绝对误差确定近似数的绝对误差不超过那一位的半个单位，再确定有效数的末位是哪一位，进一步确定有效数字和有效数位。有了定理2后，可以根据定理2更规范地解答。根据定理2，首先要将数值转化为科学记数形式，然后解答。解：（1）绝对误差:e(x)=π－3.14＝3.14159265…－3.14

2、＝0.00159…≈0.0016。相对误差：有效数字：因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.14＝0.314×10，m=1。而π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…所以│π－3.14│＝0.00159…≤0.005=0.5×10－2＝所以，3.14作为π的近似值有3个有效数字。（2）绝对误差:e(x)=π－3.15＝3.14159265…－3.14＝－0.008407…≈－0.0085。相对误差：有效数字：因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.15＝0.

3、315×10，m=1。而π－3.15＝3.14159265…－3.15＝－0.008407…所以│π－3.15│＝0.008407……≤0.05=0.5×10－1＝所以，3.15作为π的近似值有2个有效数字。（3）绝对误差:相对误差：有效数字：因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，，m=1。17而所以所以，作为π的近似值有3个有效数字。（4）绝对误差:相对误差：有效数字：因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，，m=1。而所以所以，作为π的近似值有7个有效数字。2、用四舍五入原则写出下列各

4、数的具有五位有效数字的近似数。346．7854，7．000009，0．0001324580，0．600300分析：本题实际上指出，按要求截取的近似数符合有效数字定义，相关数位上的数字都是有效数字。解答方法简单，直接写出就可以，不需要也不应该做形式转化（化为科学计数法形式）解：346．7854≈346．79，7．000009≈7．0000，0．0001324580≈0．00013246，0．600300≈0．60030。指出：3、下列各数都是对准确数进行四舍五入后得到的近似数，试分别指出他们的绝对误差限和相对误差限和有效数字的位数。。17分

5、析：首先，本题的准确数未知，因此绝对误差限根据四舍五入规则确定。其次，应当先求绝对误差限，再求相对误差限，最后确定有效数字个数。有效数字由定义可以直接得出。解：由四舍五入的概念，上述各数的绝对误差限分别是由绝对误差和相对误差的关系，相对误差限分别是有效数字分别有3位、4位、4位、4位。4.计算的近似值，使其相对误差不超过0.1％。解：设取n个有效数字可使相对误差小于0.1％，则，而，显然，此时，，即，也即所以，n=4。此时，。5、在计算机数系F(10,4,-77,77)中，对，试求它们的机器浮点数及其相对误差。解：其相对误差分别是。176

6、、在机器数系F(10,8,L,U)中，取三个数，试按两种算法计算的值，并将结果与精确结果比较。解：精确计算得：第一种算法按从小到大计算,但出现了两个数量级相差较大的数相加,容易出现大数吃小数.而第二种算法则出现了两个相近的数相减,容易导致有效数位的减少。计算结果证明，两者精度水平是相同的。***在机器数系F(10,8,L,U)中，取三个数，试按两种算法计算的值，并将结果与精确结果比较。解：17第一种算法是按从小到大的顺序计算的，防止了大数吃小数，计算更精确。精确计算得：显然，也是第一种算法求出的结果和精确结果更接近。7、某计算机的机器数系

7、为F(10,2,L,U)，用浮点运算分别从左到右计算及从右到左计算试比较所得结果。解：从左到右计算得从右到左计算得从右到左计算避免了大数吃小数，比从左到右计算精确。8、对于有效数，估计下列算式的相对误差限17分析：求和差的相对误差限采取先求出和差的绝对误差限再求相对误差限的方法。求积商的相对误差限采取先求每一个数的相对误差限再求和的方法。解：因为都是有效数，所以则9、试改变下列表达式，使其计算结果比较精确（其中表示x充分接近0，表示x充分大）。(1)；(2)；(3)；(4);(5)。分析：根据算法设计的原则进行变形即可。当没有简单有效的方

8、法时就采用泰勒展开的方法。解：(1)；(2)；(3)17或(4)(5)10、用4位三角函数表，怎样算才能保证有较高的精度？解：根据，先查表求出再计算出要求的结果精度较高。1711、利用求方程的