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《(完整版)常微分方程练习试卷及答案.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、常微分方程练习试卷一、填空题。2dx1.方程x310是阶（线性、非线性）微分方程.2dtxdy2.方程f(xy)经变换，可以化为变量分离方程.ydx3dyy2x3.微分方程0满足条件y(0)1,y(0)2的解有个.dx3*2xxx4.设常系数方程yyyex的一个特解y(x)eexe，则此方程的系数，，.5.朗斯基行列式W(t)0是函数组x1(t),x2(t),L,xn(t)在axb上线性相关的条件.226.方程xydx(2x3y20)dy0的只与y有关的积分因子为.7.已知XA(t)X的基解矩阵为(t)的，则A(t).208.方程组x'x的基解矩
2、阵为．059.可用变换将伯努利方程化为线性方程.10.是满足方程y2y5yy(i)和初始条件的唯一解.2.方程的待定特解可取的形式:3.三阶常系数齐线性方程y(ii)y0的特征根是y二、计算题(i)求平面上过原点的曲线方程,该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直.dyxy1(ii)求解方程.dxxy3d2xdx()20。(iii)求解方程xdt2dt(iv)用比较系数法解方程..(v)求方程yysinx的通解.22(vi)验证微分方程(cosxsinxxy)dxy(1x)dy0是恰当方程，并求出它的通解.311dXdX(vii)
3、设A，试求方程组AX的一个基解基解矩阵1.，求AX，1dtdt24满足初始条件x(0)的解.dy2(viii)求方程2x13y通过点(1,0)的第二次近似解.dxdy3dy(ix)求()4xy8y20的通解dxdx21(x)若A试求方程组xAx的解(t),(0)1,并求expAt142三、证明题(t)若(t),(t)是XA(t)X的基解矩阵，求证：存在一个非奇异的常数矩阵C，使得(t)(t)C.(u)设(x)(x0,x)是积分方程x[2y()y(x)y0]d,x0,x[,]x0的皮卡逐步逼近函数序列{n(x)}在[,]上一致收敛所得的解，而(x)
4、是这积分方程在[,]上的连续解，试用逐步逼近法证明：在[,]上(x)(x).(v)设都是区间上的连续函数,且是二阶线性方程的一个基本解组.试证明:1.和都只能有简单零点(即函数值与导函数值不能在一点同时为零);2.和没有共同的零点;3.和没有共同的零点.dX(w)试证：如(t)是AX满足初始条件(t0)的解，那么(t)expA(tt0)果dt.答案一.填空题。111.二，非线性2.uxy，dudx3.无穷多4.3,2,1u(f2.1)x2ty37.Ate05.必要6.(t)1(t)8.e5t9.0e10.11.12.1,二、计算题1.求平面上过原
5、点的曲线方程,该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直.解:设曲线方程为,切点为(x,y),切点到点(1,0)的连线的斜率为,则由题意可得如下初值问题:.分离变量,积分并整理后可得.代入初始条件可得,因此得所求曲线为.dyxy12.求解方程.dxxy3xy10,x1,解：由求得x1,y2令xy30y2,d(1z)dzd1则有.令z，解得,积分得arctanzln(1z2)ln
6、
7、C,2d1z2y2故原方程的解为arctanln(x1)2(y2)2C.x1d2xdx3.求解方程x()20dt2dt解令，直接计算可得，于是原方程化为，
8、故有或，积分后得，即，所以就是原方程的通解，这里为任意常数。4.用比较系数法解方程..解：特征方程为,特征根为.对应齐方程的通解为.设原方程的特解有形如代如原方程可得利用对应系数相等可得,故.原方程的通解可以表示为(是任意常数).5.求方程yysinx的通解.解：先解yy得通解为ycex,令yc(x)ex为原方程的解，代入得c(x)exc(x)exc(x)exsinx,即有c(x)exsinx,11积分得c(x)ex(sinxcosx)c,所以ycex(sinxcosx)为原方程的通解.22226.验证微分方程(cosxsinxxy)dxy(1x
9、)dy0是恰当方程，并求出它的通解.MN解：由于M(x,y)cosxsinxxy2,N(x,y)y(1x2)，因为2xy所以原方程为恰当方程.yx把原方程分项组合得cosxsinxdx(xy2dxyx2dy)ydy0,12或写成122122222d(sinx)d(xy)d(y)0,故原方程的通解为sinxxyyC.222311dXdX7.设A，，试求方程组AX的一个基解基解矩阵(t)，求AX241dtdt满足初始条件x(0)的解.31解：特征方程为det(AE)(2)(5)0,24求得特征值12,25,对应12,25的特征向量分别为11V1,V2
10、,(,0).122t5tee1211可得一个基解矩阵(t).，又因为(0)，2t5te2e3112t5t2t5t1ee2111e2e于是
