(完整版)数学系常微分方程期末试卷A及答案.doc

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1、人题审师教课任_号学__名姓班级系院学计数⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯线⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯封⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯密⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（A）试卷份数考试本科考试科目常微分方程题号一二三四五六七总分分数阅卷人试卷说明：1、该门考试课程的考试方式：闭卷；2、考试所用时间：120分钟。3、考试班级：数计学院数11级一、填空题（每小题3分，本题共15分）221．方程x(y1)dxy(x1)dy0所有常数解是．2．方程y4y0的基本解组是．dy23．方程xsiny满足解的存在唯一性定理条件的区域是．dx4．线性齐次微分方程组的解组Y1

2、(x),Y2(x),,Yn(x)为基本解组的条件是它们的朗斯基行列式W(x)0．5．一个不可延展解的存在在区间一定是区间．二、单项选择题（每小题3分，本题共15分）1dy6．方程x3y满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（）．dx（A）上半平面（B）xoy平面（C）下半平面（D）除y轴外的全平面dy7.方程y1（）奇解．dx（A）有一个（B）有两个（C）无（D）有无数个8．n阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（）个．（A）n（B）n-1（C）n+1（D）n+2第1页（共5页）年月日9、微分方程xlnxyy的通解（）A、yc1xlnxc2B、yc1xl

3、nx1C、yxlnxD、yc1xlnx1c210．n阶线性非齐次微分方程的所有解（）．（A）构成一个线性空间（B）构成一个n1维线性空间（C）构成一个n1维线性空间（D）不能构成一个线性空间三、简答题（每小题6分，本题共30分）dyxy11.解方程edx12.解方程(x2y)dxxdy0⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯线⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯封⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯密⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯第2页（共5页）年月日⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯线⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯封⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯密⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯d

4、y13.解方程dxy14.解方程edx2dx15．试求2dtyx(31xedxdty22yx)dy00的奇点类型及稳定性第3页（共5页）年月日四、计算题（每小题10分，本题共20分）16．求方程yy12xe的通解17．求下列方程组的通解dxdtdydty2xy．第4页（共5页）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯年月日⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯线⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯封⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯密⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯五、综合能力与创新能力测试题（每小题10分，本题共20分）18．在方程yp(x)yq(x)y0中，p(x)

5、,q(x)在(,)上连续，求证：若p(x)恒不为零，则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式W(x)是(,)上的严格单调函数．19．在方程yp(x)yq(x)y0中，已知p(x)，q(x)在(,)上连续．求证：该方程的任一非零解在xoy平面上不能与x轴相切．12-13-2学期期末考试《常微分方程》A参考答案及评分标准（数学与计算机科学学院）制卷审核一、填空题（每小题3分，本题共15分）1．y1,x12．sin2x,cos2x3．xoy平面4．充分必要5．开二、单项选择题（每小题3分，本题共15分）6．D7．C8．A9．D10．D三、简答题（每小题6分，本题共30分

6、）11．解分离变量得eydyexdx（3分）等式两端积分得通积分eyexC（6分）12．解方程化为dydx12yx(2分)令yxu，则dydxuxdudx，代入上式，得xdudx1u(4分)分量变量，积分，通解为uCx1(5分)原方程通解为yCx2x(6分)13．解对应齐次方程dydxyx的通解为yCx（2分）令非齐次方程的特解为yC(x)x（3分）代入原方程，确定出/c(x)1x（4分）再求初等积分得C(x)lnxC（5分）因此原方程的通解为yCx+xlnx（6分）14．解：由于MyeyNx，所以原方程是全

7、微分方程．（2分）取(x0,y0)(0,0)，原方程的通积分为x0eydxy02ydyC（4分）即xeyy2C（6分）15．解：令dxdty，则：dydt3y2x2分因为02130，又由2130得2320解之得11,22为两相异实根，且均为负4分故奇点为稳定结点，对应的零解是渐近稳定的。6分四、计算题（每小题10分，本题共20分）16．解：对应的齐次方程的特征方程为：210（1分）特征根为：11,21（2分）故齐次方程的通解为：yC1exC2ex（4分）因为1是单特征根．所以，设非齐次方程的特解为y1(x)Axe

8、x（6分）代入原方程，有