数学系常微分方程期末试卷B及答案

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1、数计学院系级班姓名__学号_任课教师审题人……………………………………………………………密…………………………封…………………………线……………………………………………试卷（B）试卷份数考试本科考试科目常微分方程题号一二三四五六七总分分数阅卷人试卷说明：1、该门考试课程的考试方式：闭卷；2、考试所用时间：120分钟。3、使用班级数计学院数11级一、填空题（每小题3分，本题共15分）1．方程的常数解是。2．方程的基本解组是。3．方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是　　　　。4．线性齐次微分方程组的解组为基本解组的条件是它们的朗斯

2、基行列式。5．方程的任一非零解与轴相交。二、单项选择题（每小题3分，本题共15分）6．方程过点(0,0)有（　）．(A)无数个解　　　　(B)只有一个解　(C)只有两个解　　　(D)只有三个解7.方程（）奇解．（A）有一个（B）有两个（C）无（D）有无数个8．有界是方程初值解唯一的（）条件．（A）必要（B）必要非充分（C）充分（D）充分必要第1页（共5页）……………………………………………………………密…………………………封…………………………线……………………………………………年月日9、微分方程的通解（）A、B、C、D、10．

3、阶线性非齐次微分方程的所有解（）．（A）构成一个线性空间（B）构成一个维线性空间（C）构成一个维线性空间（D）不能构成一个线性空间三、简答题（每小题6分，本题共30分）11.解方程12.解方程第2页（共5页）……………………………………………………………密…………………………封…………………………线……………………………………………年月日13.解方程14.解方程15．试讨论方程组的奇点类型，其中a,b,c为常数，且ac0。第3页（共5页）年月日……………………………………………密…………………………封…………………………线………

4、………………………………………………………………四、计算题（每小题10分，本题共20分）16．求方程的通解17．解方程组：第4页（共5页）……………………………………………………………密…………………………封…………………………线……………………………………………年月日五、综合能力与创新能力测试题（每小题10分，本题共20分）18．设和是二阶线性齐次微分方程的两个线性无关解，求证：它们不能有共同的零点．19．已知微分方程有积分因子,试求所有可能的函数.12-13-2学期期末考试《常微分方程》B参考答案及评分标准（数计学院）制卷审

5、核一、填空题（每小题3分，本题共15分）1．2．3．平面4．充分必要5．不能二、单项选择题（每小题3分，本题共15分）6．A7．C8．C9．D10．D三、简答题（每小题6分，本题共30分）11．解分离变量得（3分）等式两端积分得通积分（6分）12．解令，则，代入原方程，得，（2分）当时，分离变量，再积分，得（4分）（5分）即通积分为：（6分）13．解方程两端同乘以，得（2分）令，则，代入上式，得（3分）通解为原方程通解为（6分）14．解：因为，所以原方程是全微分方程（2分）取，原方程的通积分为（4分）即（6分）15．解：因为方程

6、组是二阶线性驻定方程组，且满足条件，故奇点为原点（0，0）2分又由det(A-E)=得4分所以，方程组的奇点（0，0）可分为以下类型：a，c为实数6分四、计算题（每小题10分，本题共20分）16．解：对应齐次方程的特征方程为（1分）特征根为：特征根为，，（2分）齐次方程的通解为（4分）因为是特征根。所以，设非齐次方程的特解为（6分）代入原方程，比较系数确定出，，原方程的通解为（10分）17．解：其系数矩阵为：，（2分）特征多项式为：，其特征根为：，（4分）当时，由方程组，可解得特征向量为：（6分）由，（8分）可知方程组的基本解组

7、为：.（10分）五、综合能力与创新能力测试题（每小题10分，本题共20分）18．证明由于和是两个线性无关解，则它们的朗斯基行列式（*）（5分）假如它们有共同零点，那么存在一个点，使得=于是这与（*）式矛盾．（10）19．解:令,,由所给方程有积分因子知（4分）即,因此函数满足一阶线性方程(6分)求出其通解即得使所给方程有积分因子的函数为其中为任意常数.(10分)