数学系常微分方程试卷C及答案.doc

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1、数计学院系级班姓名__学号_任课教师审题人……………………………………………………………密…………………………封…………………………线……………………………………………试卷（C）试卷份数考试本科考试科目常微分方程题号一二三四五六七总分分数阅卷人试卷说明：1、该门考试课程的考试方式：闭卷；2、考试所用时间：120分钟。3、使用班级数计学院数11级一、填空题（每小题3分，本题共15分）1．方程所有常数解是　　　　．2．方程的基本解组是．3．方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是　　　　．4．函数组的朗斯基行列式在区间I上不恒等于零,是它们在区间I上线性无关的条件．5．的通解是．二、单项选择题（

2、每小题3分，本题共15分）6．方程的奇解是（）．（A）（B）（C）（D）7.方程过点共有（）个解．（A）一（B）无数（C）两（D）三8．阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（）个．（A）（B）-1（C）+1（D）+2第1页（共5页）……………………………………………………………密…………………………封…………………………线……………………………………………年月日9、微分方程的通解（）A、B、C、D、10．如果，都在平面上连续，那么方程的任一解的存在区间（）．（A）必为（B）必为（C）必为（D）将因解而定三、简答题（每小题6分，本题共30分）11.解方程12.解方程第2页（共5页）……

3、………………………………………………………密…………………………封…………………………线……………………………………………年月日13.解方程14.解方程15．解方程第3页（共5页）年月日……………………………………………密…………………………封…………………………线………………………………………………………………………四、计算题（每小题10分，本题共20分）16．求方程的通解17．求下列方程组的通解．第4页（共5页）……………………………………………………………密…………………………封…………………………线……………………………………………年月日五、综合能力与创新能力测试题（每小题10分，

4、共20分）18．一质量为m的质点作直线运动，从速度等于零的时刻起，有一个和时间成正比（比例系数为k1）的力作用在它上面，此质点又受到介质的阻力，这阻力和速度成正比（比例系数为k2）。试求此质点的速度与时间的关系。19．设在上连续，且，求证：方程的一切解，均有．第5页（共5页）12-13-2学期期末考试《常微分方程》C参考答案及评分标准制卷赵志锟审核一、填空题（每小题3分，本题共15分）1．；或2．3．，（或不含x轴的上半平面）4．充分5．二、单项选择题（每小题3分，本题共15分）6．D7．B8．A9．D10．D三、简答题（每小题6分，本题共30分）11．解当，时，分离变量取不定积分，得（3

5、分）通积分为（6分）12．解令，则，代入原方程，得（3分）分离变量，取不定积分，得（）通积分为：（6分）13．解对应齐次方程的通解为（2分）令非齐次方程的特解为（3分）代入原方程，确定出（4分）再求初等积分得（5分）因此原方程的通解为+（6分）14．解：积分因子为（3分）取，则原方程的通积分为（5分）即（6分）15．解：原方程为恰当导数方程，可改写为则（2分）分离变量，取积分（4分）得原方程的通积分为（6分）四、计算题（每小题10分，本题共20分）16．解：对应的齐次方程为。我们有，通解为，………………………….2分又由迭加原理，分别求出二方程的特解，其中第一个为：；第二个为：，……………

6、…………….5分则，为原方程的一个特解，其通解为：。……………………………..10分17．解：方程组的特征方程为即（1分）特征根为，（2分）对应的解为（3分）其中是对应的特征向量的分量，满足（4分）可解得．（5分）同样可算出对应的特征向量分量为．（8分）所以，原方程组的通解为（10分）五、综合能力与创新能力测试题（每小题10分，共20分）18．解：由物理知识得：1分根据题意：2分故：即：5分(*)式为一阶非齐线性方程，根据其求解公式有7分又当t=0时，V=0，故c=9分因此，此质点的速度与时间的关系为：10分19．证明设是方程任一解，满足，该解的表达式为（4分）取极限=（10分）