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1、中职数学拓展课程椭圆的标准方程椭圆定义与方程建筑物中存在椭圆的美生活中的椭圆（1）取一条细绳和一张纸板（2）把绳的两端用图钉固定在板上（绳的长度大于两个图钉间的距离）（3）然后用笔尖拉紧绳子,使笔尖慢慢移动，看看画出的图形是什么？画椭圆椭圆的定义平面上到两个定点的距离的和（2a）等于定长（大于
2、F1F2
3、）的点的轨迹叫椭圆。定点F1、F2叫做椭圆的焦点。两焦点之间的距离叫做焦距（2c）。F1F2M椭圆定义的符号表述：注意：椭圆定义必须是满足下列条件的动点形成的轨迹：1.在平面上2.动点到两个定点的距离之和为常数2a3.常数2a要大于两个定点之间的距离2c也即设两定点分别为
4、F1、F2，动点为M，则有
5、MF1
6、+
7、MF2
8、＞
9、F1F2
10、椭圆的定义椭圆的标准方程F1F2M
11、F1F2
12、=2c
13、MF1
14、+
15、MF2
16、=2a在如图的坐标系中，点F1、F2的坐标分别为F1（-c，0）F2（c，0）由
17、MF1
18、+
19、MF2
20、=2a得xy0椭圆的标准方程（1）它表示：[1]椭圆的焦点在x轴[2]焦点是F1（-c，0）、F2（c，0）[3]c2=a2-b2F1F2M0xy椭圆的标准方程（2）它表示：[1]椭圆的焦点在y轴[2]焦点是F1（0，-c）、F2（0，c）[3]c2=a2-b2F1F2M0xy图形方程焦点F(±c，0)F(0，±c)a,b,c之间的关系a
21、2=b2+c2,b2=a2-c2,c2=a2-b2
22、MF1
23、+
24、MF2
25、=2a(2a>2c>0)定义12yoFFMx1oFyx2FM注:焦距为2c判定下列椭圆的焦点在哪个坐标轴，指明a、b、c写出焦点坐标和焦距例1a2=b2+c2,b2=a2-c2,c2=a2-b2(1)解：因为所以且焦点在x轴又因为所以所以所以即：焦点坐标为（-4，0）和（4，0）焦距2c=8a2=b2+c2,b2=a2-c2,c2=a2-b2焦点在y轴上，且a2=5，b2=1，所以，c2=a2-b2=4，c=2焦点（0，-2）和（0，2）.焦距2c=4判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则：焦点在分母
26、大的那个轴上。（2）a2=b2+c2,b2=a2-c2,c2=a2-b2判断下列椭圆焦点在哪个轴上，并写出焦点坐标练习1a2=25,b2=9,c2=a2-b2=16,c=4焦点在x轴（-4，0），（4，0）a2=12,b2=3,c2=a2-b2=9,c=3焦点在y轴（0，-3），（0，3）a2=b2+c2,b2=a2-c2,c2=a2-b21、直接法：焦点位置，a、b的值（a、b、c知二求一）求椭圆方程2、待定系数法已知椭圆的焦点在x轴上，焦距是6，椭圆上一点到两个焦点距离之和为10，写出这个椭圆的标准方程。例2解：因为2c=6，2a=10，所以c=3，a=5b2=a2-
27、c2=52-32=16由于焦点在x轴上，因此椭圆的标准方程为：1、直接法：焦点，a、b；2、待定系数法已知椭圆的焦点在x轴上，焦距是2，过点（2，0）求这个椭圆的标准方程。例3解：焦点在x轴，设椭圆的标准方程为：由焦距为2，2c=2，c=1.由椭圆过点（2，0）有b2=a2-c2=4-1=3.焦点在x轴，椭圆方程为：1、直接法：焦点，a、b；2、待定系数法写出适合下列条件的椭圆的标准方程焦距是4，椭圆上的点到两焦点距离之和为6焦点在y轴a=4，焦点坐标为（2，0）和（-2，0）焦点坐标是（0，-2）和（0，2），过点（-3，0）练习22.椭圆的标准方程是怎样的？3.给出椭
28、圆标准方程，怎样判断焦点在哪个轴上？4.怎样求一个椭圆的标准方程？小结1.满足什么条件的点的轨迹叫做椭圆？动点M到两个定点F1、F2的距离之和是常数2a且常数2a要大于焦距2c在分母大的那个轴上。已知a、b、c三个中的两个即可。思考你能求出椭圆的焦点坐标吗？认真想一想，你一定行！作业：焦点在y轴，a2=m2+1,b2=m2c2=a2-b2=1,焦点坐标：（0，1）（0，-1）二、椭圆的几何性质1.范围椭圆的图像位于四条直线x=±a,y=±b所围成的一个矩形区域里.EF0xyHG椭圆的几何性质2.对称性将方程中,(x,y)分别用(-x,y),(x,-y),(-x,-y)代换
29、,所得方程不变,从而说明图形关于y轴,x轴和原点对称.x轴和y轴是对称轴.0xy椭圆的几何性质3.顶点:图形和对称轴的交点,叫顶点.A1B20xyB1A2椭圆的几何性质3.顶点:图形和对称轴的交点,叫顶点.A1B20xyB1A2A1A2叫长轴,其长为2a(和焦点在同一个坐标轴上)B1B2叫短轴,其长为2b,F1F2叫焦距,其长为2ca叫长半轴的长,b叫短半轴的长,c叫半焦距.F1F2a,b,c的几何意义:椭圆的几何性质3.顶点:图形和对称轴的交点,叫顶点.A1B20xyB1A2A1A2叫长轴,其长为2a(和焦点在同一个坐标轴上
