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1、待定系数法求特殊数列的通项公式靖州一中蒋利在高中数学教学中，经常碰到一些特殊数列求通项公式，而这些问题在高考和竞赛中也经常出现，是一类广泛而复杂的问题，历届高考常以这类问题作为一道重大的试题。因此，在教学中，针对这类问题，提供一些特殊数列求通项公式范例，帮助同学们全面掌握这类问题及求解的一般方法。求数列的通项公式，最为广泛的的办法是：把所给的递推关系变形，使之成为某个等差数列或等比数列的形式，于是就可以由此推得所给数列的通项公式。求解的关健在于变形的技巧，而变形的技巧主要在于引进待定系数。其基本原理是递推关系两边加上相同的
2、数或相同性质的量，构造数列的每一项都加上相同的数或相同性质的量，使之成为等差或等比数列。具体的求解过程详见示例。第一类别：an=Aan-1+B例1设x=2,且x=5x+7.求数列的通项公式1nn1解：所给的递推公式可变形为7m7m7xn+m=5xn1+7+m=5(xn1+),令m=.则m=55554777于是xn+=5(xn1+)，{xn+}是等比数列，其首项为444715715n1x+=,公比为q=5.于是x+＝·51n444415n17所以xn＝·5－443xn1例2设x1=1,且xn=（n=2，3，4，⋯）2xn15
3、求数列｛xn｝的通项公式152解：所给的递推公式可变为：xn3xn13....15123m23mm(),令m=,则m=1xn3xn155551511于是1(1)。{1}是等比数列，xn3xn1xn15其首项是1=2,公比是q=x13n115n-13于是1=2（）。所求的xn=n1n1xn3253第二类别：an=Aan-1+Ban-2例3设x1=1，x2=5,xn=13xn-1-22xn-2,（n=3,4,⋯）求数列｛xn｝的通项公式解：所给的递推公式可变为22xn+mxn-1=（m+13）xn-1-22xn-2=（m+13
4、）（xn-1-xn-2）m1322令m=-，则m=－2,或m=－11m13于是xn-2xn-1=11（xn-1-xn-2）,xn-11xn-1=2(xn-1-xn-2)｛xn-2xn-1｝，｛xn-11xn-1｝都是等比数列，其首项与公比分别为x2-2x1=3,q=11。X2-11x1=-6,q=2。n-2n-2于是xn-2xn-1＝3·11，xn-11xn-1=-6·2。n-1n由此消去xn-1可得xn=(11+2)/3例4：设x1=1,x2=2。且xn=7xn-1+18xn-2（n=3,4,⋯）求数列｛xn｝的通项公式
5、解：所给的递推公式可变为18xn+mxn-1=(m+7)xn-1+18xn-2=(m+7)(xn-1+xn-2)m718令m=，则m=2,或m=-9m7xn+2xn-1=9(xn-1+2xn-2),xn-9xn-1=-2(xn-1-9xn-2)｛xn+2xn-1｝与｛xn-9xn-1｝都是等比数列，其首项与公比分别为x2+2x1=4，q=9。X2-9x1=-7，q=-2n-2n-2xn+2xn-1=4·9，xn-9xn-1=-7(-2)....n-1n-1由此消去xn-1可得xn=（4·9+7·(-2)）/11第三类别：a
6、n=Aan-1+f(n)例5设x1=1，且xn=3xn-1＋5n＋1（n=2,3,⋯）⋯⋯（1）求数列｛xn｝的通项公式解：x2=14，于是（1）把n改成n-1得xn-1=3xn-2＋5(n-1)＋1⋯⋯⋯（2）两式相减得xn-xn-1=3(xn-1-xn-2)+55mxn-xn-1+m=3(xn-1-xn-2)+5+m=3(xn-1-xn-2+)335m555令m=,则m=。于是xn-xn-1+=3(xn-1-xn-2+)332225｛xn-xn-1+｝是等比数列，2531其首项为x2-x1+=,其公比q=3。22531
7、n-2于是xn-xn-1+=·3⋯⋯⋯（3）22由（1）与（3）消去xn-1得n-1xn=(31·3-10n-17)/4例6：设x1=4，且xn=5xn-1＋7n－3（n=2,3,⋯⋯）⋯⋯（1）求数列｛xn｝的通项公式方法1解：x2=31,于是（1）把n改成n-1得xn-1=5xn-2＋7(n-1)－3⋯⋯⋯（2）两式相减得xn-xn-1=5(xn-1-xn-2)＋77mxn-xn-1＋m=5(xn-1-xn-2)＋7＋m=5(xn-1-xn-2＋)57m777令m=,则m=。xn-xn-1+=5(xn-1-xn-2＋)
8、544477115｛xn-xn-1+｝是等比数列，其首项为x2-x1+=,4447115n-2其公比q=5。于是xn-xn-1+=·5⋯⋯（3）44由（1）与（3）消去xn-1得1nxn=(23·5-28n-23)16方法2：所给的递推公式可变为....AnB7n3xn＋An＋B=5(xn-1＋)55A
