资源描述：
《待定系数法求特殊数列的通项 公式》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、待定系数法求特殊数列的通项公式靖州一中 蒋利在高中数学教学中，经常碰到一些特殊数列求通项公式，而这些问题在高考和竞赛中也经常出现，是一类广泛而复杂的问题，历届高考常以这类问题作为一道重大的试题。因此，在教学中，针对这类问题，提供一些特殊数列求通项公式范例，帮助同学们全面掌握这类问题及求解的一般方法。 求数列的通项公式，最为广泛的的办法是：把所给的递推关系变形，使之成为某个等差数列或等比数列的形式，于是就可以由此推得所给数列的通项公式。求解的关健在于变形的技巧，而变形的技巧主要在于引进待定系数。其基本原理是递推关系两边加上相同的数或相同性质的量，构造数列的每一项都加上相
2、同的数或相同性质的量，使之成为等差或等比数列。具体的求解过程详见示例。第一类别：an=Aan-1+B例1设x=2,且x=5x+7.求数列的通项公式解：所给的递推公式可变形为x+m=5x+7+m=5(x+),令m=.则m=于是x+=5(x+)，{x+}是等比数列，其首项为x+=,公比为q=5.于是x+＝·5所以 x＝·5－例2设x1=1,且xn=（n=2，3，4，…）求数列｛xn｝的通项公式解：所给的递推公式可变为：,令m=,则m=1于是。{}是等比数列，其首项是=2,公比是q=于是=2（）n-1。所求的xn=第二类别：an=Aan-1+Ban-2例3设x1=1，x2=
3、5,xn=13xn-1-22xn-2,（n=3,4,…）求数列｛xn｝的通项公式解：所给的递推公式可变为xn+mxn-1=（m+13）xn-1-22xn-2=（m+13）（xn-1-xn-2）令m=-，则m=－2,或m=－11于是xn-2xn-1=11（xn-1-xn-2）,xn-11xn-1=2(xn-1-xn-2)｛xn-2xn-1｝，｛xn-11xn-1｝都是等比数列，其首项与公比分别为x2-2x1=3,q=11。X2-11x1=-6,q=2。于是xn-2xn-1＝3·11n-2，xn-11xn-1=-6·2n-2。由此消去xn-1可得xn=(11n-1+2n)
4、/3例4：设x1=1,x2=2。且xn=7xn-1+18xn-2（n=3,4,…）求数列｛xn｝的通项公式解：所给的递推公式可变为xn+mxn-1=(m+7)xn-1+18xn-2=(m+7)(xn-1+xn-2)令m=，则m=2,或m=-9xn+2xn-1=9(xn-1+2xn-2),xn-9xn-1=-2(xn-1-9xn-2)｛xn+2xn-1｝与｛xn-9xn-1｝都是等比数列，其首项与公比分别为x2+2x1=4，q=9。X2-9x1=-7，q=-2xn+2xn-1=4·9n-2，xn-9xn-1=-7(-2)n-2由此消去xn-1可得xn=（4·9n-1+7
5、·(-2)n-1）/11第三类别：an=Aan-1+f(n)例5设x1=1，且xn=3xn-1＋5n＋1（n=2,3,…）……（1）求数列｛xn｝的通项公式解：x2=14，于是（1）把n改成n-1得xn-1=3xn-2＋5(n-1)＋1………（2）两式相减得xn-xn-1=3(xn-1-xn-2)+5xn-xn-1+m=3(xn-1-xn-2)+5+m=3(xn-1-xn-2+)令m=,则m=。于是xn-xn-1+=3(xn-1-xn-2+)｛xn-xn-1+｝是等比数列，其首项为x2-x1+=,其公比q=3。于是xn-xn-1+=·3n-2………（3）由（1）与（3
6、）消去xn-1得xn=(31·3n-1-10n-17)/4例6：设x1=4，且xn=5xn-1＋7n－3（n=2,3,……）……（1）求数列｛xn｝的通项公式方法1解：x2=31,于是（1）把n改成n-1得xn-1=5xn-2＋7(n-1)－3………（2）两式相减得xn-xn-1=5(xn-1-xn-2)＋7xn-xn-1＋m=5(xn-1-xn-2)＋7＋m=5(xn-1-xn-2＋)令m=,则m=。xn-xn-1+=5(xn-1-xn-2＋)｛xn-xn-1+｝是等比数列，其首项为x2-x1+=,其公比q=5。于是xn-xn-1+=·5n-2……（3）由（1）与（
7、3）消去xn-1得xn=(23·5n-28n-23)方法2：所给的递推公式可变为xn＋An＋B=5(xn-1＋)设A(n-1)＋B=比较系数得A=，-A+B=由此求得A=，B=。于是xn＋=5(xn-1＋)，于是｛xn＋｝是等比数列，其首项为x1+=,其公比q=5。于是xn＋=·5n-1所以 xn=(23·5n-28n-23)例7，设x1=2,且xn=3xn-1＋2n2＋1，求数列｛xn｝的通项公式解：所给的递推公式可变为xn＋An2＋Bn＋C=3(xn-1＋)设A(n-1)2＋B(n-1)＋C=比较系数得：A=，-2A+B=，A-B+C=。由此求
