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《特征方程解数列递推关系.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、用特征方程与特征根解数列线性递推关系式的通项公式一.特征方程型与解方法型一推公式An+2＝aAn+1＋bAn特征方程X2解得两根X1X2=aX+b(1)若XX则A=pXnn+qX1≠2n12==An则(其中p.q待定系数，由A1.A2立方程求得)(2)若X1X2Xn=(pn+q)X(3)若虚数根，周期数列型二推公式A＝aAnbn+1cAndaXb解得两根12特征方程X=dXXcXAn1x1aAnb1Anx1(1)若X1≠X2算ndxAn1x2=cA=kAnx2aAnbx2cAnd接着做代Bn=Anx1Ax即成等比数列n2121=1=k+1（2
2、）若X=X=X算An1AnxxaAbnx1cAnd接着做代Bn=即成等差数列Anx(3)若虚数根，周期数列型三推公式An+1＝aAn2bcAdnax2b特征方程X=解得两根XX。然后参照型二的方法行整理cXd12型四k常系数次性式An+k=c1An+k-1+c2An+k-2+⋯+ckAn特征方程Xk1k-12Xk-2+⋯+ck=cX+cnnn(1)若X1≠X2≠⋯≠Xk则An=k1X1+k2X2+⋯+kkXk(2)若所有特征根X1,X2,⋯,Xs.其中Xi是特征方程的ti次重根,有t1+t2+⋯+ts=knnn则An=Q1(n)X1+Q2(n
3、)X2+⋯+Qs(n)Xs，ti1其中Qi(n)=B1+B2n+⋯+Btin（B1,B2，⋯，Bti待定系数）二.特征方程的推导及应用类型一、递推公式为an2pan1qan（其中p，q均为非零常数）。先把原递推公式转化为an2x1an1x2(an1x1an)，其中x1,x2满足x1x2p，显然x1,x2是方程x2pxq0的两个非零根。x1x2q1）如果a2x1a10，则an2x1an10，an成等比，很容易求通项公式。2）如果a2x1a10，则{an2x1an1}成等比。公比为x2，所以an1x1an(a2n1，转化成：an1x1anx1a1
4、)，x1a1)x2n1x2n2(a2x2x2(I)又如果x1x2x，则{an1}等差，公差为(a2x1a1)，x2n1所以an1a2(n1)(a2x1a1)，x2n11即：an1[a2(n1)(a2x1a1)]x2n1an[a2(n2)(a2x1a1)]x2n1x2x2可以整理成通式：an(ABn)xnIi)如果x1x2，则令an1bn1，x1A，(a2x1a1)B,就有x2n1x2bn1AbnB，利用待定系数法可以求出bn的通项公式bna1x2(1x2)(x1)n1(a2x1a1)x2x1x2x2x1x2所以an[a1x2(1x2)(x1)
5、n1(a2x1a1)x2]x2n2，化简整理得：x1x2x2x1x2ana1(1x2)x1n1a1x1a2x2n1，x1x2x1x2可以整理成通式annnAx1Bx2小特征根法：于由推公式an2pan1qan，a1,a2出的数列an，方程x2pxq0，特征方程。若x1,x2是特征方程的两个根，当x1x2，数列an的通an1Bxn1，其中ABa1,a2决定（即把a1,a2,x1,x2n12Ax，由和n1,2，代入aAxn1Bxn1x1x2ann2，得到关于、的方程）；当，数列1AB的通a(ABn)xn1a1,a2a1,a2,x1,x2n1,2n
6、2，其中，由决定（即把和，AB代入an(ABn)x2n1，得到关于A、B的方程）。简例应用（特征根法）：例1：数列an：3an25an12an0(n0,nN)，a1a,a2b解：特征方程是：3x25x20x11,x22,23ann1n1ABn1。又由a1a,a2b，于是Ax1Bx2()3aABA3b2a故an3b2a3(ab)(2)n12bABB3(ab)33例2：p、q数，α、β是方程x2-px+q=0的两个数根，数列{x}足nx=p,x=p-q,x=px-qx(n=3,4,5⋯⋯)求数列{xn}的通公式。122nn-1n-2解：然x=px
7、-qxn-2(n=3,4,5⋯⋯)的特征根方程就是x2-px+q=0，nn-1而α、β是方程x2-px+q=0的两个数根，所以可以直接假：⑴当α=β，xn(ABn)n1，因x=p,x=p-q，所以122ABpA2PP2q解得(A2B)p2qP2qpBxn{2pp2q(p2qp)n}n2⑵当，xnAn1Bn1，因x1=p,x2=p2-q，所以AABpq解得Ap2pq，Bp2pqBp2xnp2pqn1+p2pqn1类型二、递推公式为an1panqranh解法：如果数列{an}满足：已知a1，且对于nN，都有an1panq（其中p、q、r、ranh
8、h均为常数，且phqr,r0,a1hpxq），那么，可作特征方程x,当特征方程有rrxh且仅有一根x0时,如果a1x0则anx0；如果a1x0则1是等差数列。当特征
