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《特征方程法求解递推关系中的数列通项.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、精品资源特征方程法求解递推关系中的数列通项考虑一个简单的线性递推问题设已知数列｛an｝的项满足-ai=ban+i=can+d其中c#0,c#1,求这个数列的通项公式.采用数学归纳法可以求解这一问题，然而这样做太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错，本文提出一种易于被学生掌握的解法一一特征方程法：针对问题中的递推关系式作出一个方程x=cx+d,称之为特征方程；借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述.定理1.设上述递推关系式的特征方程的根为x0，则当Xo=a[时，an为常数列，即an=a1；当Xo=a1时,
2、an=bn+x°,其中｛bn｝是以c为公比的等比数列，即bn="d’,4=a1-xo.d证明：因为c=0,1,由特征万程得xo=.作换元bn=an-x0,1-cdcd,、贝ubs=an」-xo=can-d=can=c(an-x0)^cbn.1-c1-c当xo¥&时，b1#0,数列｛bn｝是以c为公比的等比数列，故bn=b1cna;当xo=a1时，b1=O,｛bn｝为o数列，故an=a1，nwN.(证毕)下面列举两例，说明定理1的应用.1,、例1.已知数列｛an｝满足：an+=--an-2,n=N,a1=4，求an.31.3斛
3、：作方程x=——x—2M!jxo=一-.32311...1当a1=4时，a[#xo,b[=a〔+—=—.数列｛bn｝是以一一为公比的等比数列.于是2231n」111n433111n^bn*(-尸=(一)an=-+bn=-+(-)n,,n-N.3232223例2.已知数列｛an｝满足递推关系：an书=(2an+3)i,nwN,其中i为虚数单位.当a1取何值时，数列｛an｝是常数数列？,一、一-63i解：作方程x=(2x+3)i,则xo=63i.欢迎下载精品资源--63i要使an为常数，即则必须ai=X0=现在考虑一个分式递推问
4、题（*）.例3.已知数列｛an｝满足性质：对于nN,aan4..———，且a1=3，求｛an｝的通项公2an3」A.将这问题一般化，应用特征方程法求解,有下述结果定理2.如果数列｛an｝满足下列条件：已知ai的值且对于nwN,都有an书_panqranh欢迎下载精品资源欢迎下载精品资源（其中p、q、r、h均为常数，且ph#qr,r。0,a1#）,那么，可作特征方程x=~px-qrrxh（1）当特征方程有两个相同的根儿（称作特征根）时，若a1=九，贝Uan=Z,nwN;#一.1...1r右a1#Z,则an=一十九,nwN,其中
5、bn=+（n-1）,n=N.牛寸力U地，bna1-1p-r1当存在nowN,使bn0=0时，无穷数列｛an｝不存在.（2）当特征方程有两个相异的根储、九2（称作特征根）时，则an=儿2cn—上1,nWN,Cn-1其中cn=—~~—（――^-r）nJL,n=N,（其中a1丰%）.a1一;p一’2r证明：先证明定理的第（1）部分.作交换dn=an-,nN则dn1_panqranhan(p-■r)q―hranh(dn)(p-r)q-hr(dn)hdn(p-r)-[r2-(h-p)-q]二①rdnh-r,,「九是特征方程的根，，九=
6、-qnr九2十九(h-p)-q=0.r'h欢迎下载精品资源将该式代入①式得dn+=dn(p—"),nwN.②rdnh-■r将x=8代入特征方程可整理得ph=qr,这与已知条件ph丰qr矛盾.故特征方程的r「p根九#,于是p_74#0.③r当d1=0,即a1=d1+九=九时，由②式得bn=0,nwN,故an=dn+九=九,nwN.当di#0即ai。九时，由②、③两式可得dn=0,nwN.此时可对②式作如下变化：1rdnh-■rhr1r==•一p-h2rdn1dn(p-r)p-rdnp-r由九是方程x=px+q的两个相同的根可以
7、求得rxh2r=1,h-rp-1■■■r2rjr11r将此式代入④式得—=——r一,nN.dn1dnp-r.1…一.rr令bn=，，nwn.则bn+=bn+—^,nwN.故数列｛bn｝是以一^为公差的等dnppYr差数列.，，、r--bn=b1(n-1),nN.p-r,1其中b1='d11当n二N,bn#0时，an=dn+九=一+九，n=N.bn1当存在n°uN,使bn=0时，an=dn+九=——十九无意义.故此时，无穷数列｛an｝是000bn。不存在的.再证明定理的第（2）部分如下：•••特征方程有两个相异的根人、％,其中
8、必有一个特征根不等于a1,不妨令九2丰a1.欢迎下载精品资源于是可作变换Cn二an_1,nN.an故Cn1an1an1pan+q代入再整理得ranh由第an(p-,ir)q-,ih,n.Nan(p-'2「)q-2h（1）部分的证明过程知x=R不是特征方程的根,r一%r#0,p-入2r#0.
