特征方程解数列递推关系

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1、用特征方程与特征根解数列线性递推关系式的通项公式一.特征方程类型与解题方法类型一递推公式为An+2＝aAn+1＋bAn特征方程为X2=aX+b解得两根X1X2(1)若X1≠X2则An=pX1n+qX2n(2)若X1=X2=X则An=(pn+q)Xn(其中p.q为待定系数，由A1.A2联立方程求得)(3)若为虚数根，则为周期数列类型二递推公式为An+1＝特征方程为X=解得两根X1X2(1)若X1≠X2则计算==k接着做代换Bn=即成等比数列（2）若X1=X2=X则计算==k+接着做代换Bn=即成等差数列(3)若为虚数根，则为周期数列类型三

2、递推公式为An+1＝特征方程为X=解得两根X1X2。然后参照类型二的方法进行整理类型四k阶常系数齐次线性递归式An+k=c1An+k-1+c2An+k-2+…+ckAn特征方程为Xk=c1Xk-1+c2Xk-2+…+ck(1)若X1≠X2≠…≠Xk则An=++…+(2)若所有特征根X1,X2,…,Xs.其中Xi是特征方程的ti次重根,有t1+t2+…+ts=k则An=++…+，其中=++…+（B1,B2，…，Bti为待定系数）二.特征方程的推导及应用类型一、递推公式为（其中p，q均为非零常数）。-6-先把原递推公式转化为，其中满足，显然

3、是方程的两个非零根。1）如果，则，成等比，很容易求通项公式。2）如果，则{}成等比。公比为，所以，转化成：，(I)又如果，则{}等差，公差为，所以，即：可以整理成通式：Ii)如果，则令，，,就有，利用待定系数法可以求出的通项公式所以，化简整理得：，可以整理成通式小结特征根法：对于由递推公式，给出的数列，方程，为特征方程。若是特征方程的两个根，当-6-时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）；当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）。简例应用（特征根法）：例1：数列：，

4、解：特征方程是：,。又由，于是故例2：设p、q为实数，α、β是方程x2-px+q=0的两个实数根，数列{xn}满足x1=p,x2=p2-q,xn=pxn-1-qxn-2(n=3,4,5……)求数列{xn}的通项公式。解：显然xn=pxn-1-qxn-2(n=3,4,5……)的特征根方程就是x2-px+q=0，而α、β是方程x2-px+q=0的两个实数根，所以可以直接假设：⑴当α=β时，设，因为x1=p,x2=p2-q，所以解得⑵当时，设，因为x1=p,x2=p2-q，所以解得，+类型二、递推公式为-6-解法：如果数列满足：已知，且对于，

5、都有（其中p、q、r、h均为常数，且），那么，可作特征方程,当特征方程有且仅有一根时,如果则；如果则是等差数列。当特征方程有两个相异的根、时，则是等比数列。（证明方法如同类型一，从略）例1：已知数列满足：对于且求的通项公式.解:数列的特征方程为变形得其根为故特征方程有两个相异的根，则有∴∴即例2：已知数列满足：对于都有-6-（1）若求（2）若求（3）若求（4）当取哪些值时，无穷数列不存在？解：作特征方程变形得特征方程有两个相同的特征根(1)∵对于都有(2)∵∴令，得.故数列从第5项开始都不存在，当≤4，时，.(3)∵∴∴令则∴对于∴(4

6、)、显然当时，数列从第2项开始便不存在.由第（1）小题的解答知，时，是存在的，当时，有令则得且≥2.∴当（其中且N≥2）时，数列从第项开始便不存在。于是知：当在集合或且≥2}上取值时，无穷数列都不存在。例3:数列记-6-求数列的通项公式及数列的前n项和解：由已知,得,其特征方程为解之得,或,,例4：各项均为正数的数列中，当解：由得化间得，作特征方程，，。所以-6-