2021届高中数学必做黄金100题23函数中存在性与恒成立问题（解析版）.docx

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1、第23题函数中存在性与恒成立问题一．题源探究·黄金母题利用函数的单调性，证明不等式：【解析】令，则，因为，所以，所以，函数在区间上单调递增，所以所以。【试题来源】人教A版选修2-2第32页例B组1题．【母题评析】本题考查利用构造函数，利用导函数判断单调性，进而求函数最值．【思路方法】构造函数求函数的额最值．二．考场精彩·真题回放（2020·全国高考真题（文）节选）已知函数f（x）=2lnx+1．（1）若f（x）≤2x+c，求c的取值范围；【答案】（1）；【解析】（1）函数的定义域为：，设，则有，当时，单调递减，当时，

2、单调递增，所以当时，函数有最大值，【命题意图】本题考查了利用导数研究不等式恒成立问题，以及利用导数判断含参函数的单调性，是中档题.【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以解答题的形式出现，难度较小，往往与函数的最值联系起来．【学科素养】数学运算【难点中心】充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是15/15即，要想不等式在上恒成立，只需；的充分条件．2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般

3、运用等价法．3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若，则是的必要条件；若＝，则是的充要条件；若是的真子集，则是的充分不必要条件；若是的真子集，则是的必要不充分条件．三．理论基础·解题原理考点一恒成立：关于x的不等式f(x)≥0对于x在某个范围内的每个值不等式都成立，就叫不等式在这个范围内恒成立．若函数在区间上存在最小值和最大值，则:①不等式在区间上恒成立；②不等式在区间上恒成立；③不等式在区间上恒成立；④不等式在区间上恒成立；若函数在区间上不存在最大（小）值，且值域为，则：①不等式（或）在区间上恒成立；15

4、/15②不等式（或）在区间上恒成立．四．题型攻略·深度挖掘【考试方向】恒成立问题便是一个考察学生综合素质的很好途径，它主要涉及到一次函数、二次函数、三角函数、指数函数和对数函数等常见函数的图象和性质，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用．近几年的数学高考和各地的模考联考中频频出现存在性与恒成立问题，其形式逐渐多样化，但它们大都与函数、导数知识密不可分．考向1函数性质法1）已知函数，，其中，．对任意，都有恒成立，求实数的取值范围；2）已知两函数，，对任意，存

5、在，使得，求实数m的取值范围．2）、对任意，存在，使得等价于在上的最小值不大于在【温馨提醒】15/15上的最小值0，即，所以在解决函数存在性与恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，即构造函数法，然后利用相关函数的图象和性质解决问题，同时注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更加面目更加清晰明了，一般来说，已知存在范围的量视为变量，而待求范围的量视为参数．此法关键在函数的构造上，常见于两种----一分为二或和而为一，另一点充分利用函数的图象来分析，即体现数形

6、结合思想．考向2分离参数法已知函数f(x)＝mx2－mx－1．(1)若对于x∈R，f(x)＜0恒成立，求实数m的取值范围；(2)若对于x∈[1，3]，f(x)＜5－m恒成立，求实数m的取值范围．【答案】(1)(－4，0]．(2)．[来源:Zxxk．Com]【温馨提醒】利用分离参数法来确定不等式，（，为实参数）恒成立中参数的取值范围的基本步骤:（1）将参数与变量分离，即化为（或）恒成立的形式；（2）求在上的最大（或最小）值；（3）解不等式(或)，得的取值范围．考向3主参换位法15/15若不等式的所有都成立，则的取值范围

7、__________．【答案】【温馨提醒】函数的最值却难以求出时，可考虑变换思维角度．即把主元与参数换个位置，再结合其它知识，往往会取得出奇制胜的效果．此类问题的难点常常因为学生的思维定势，易把它看成关于的不等式讨论，从而因计算繁琐出错或者中途夭折；若转换一下思路，把待求的x为参数，以为变量，构造新的关于参数的函数，再来求解参数应满足的条件这样问题就轻而易举的得到解决了．考向4数形结合法[求证：，对于恒有成立．【答案】证明见解析．【解析】原方程可化为，由图像可知，，函数单调递增，故得证．【技能方法】解决此类问题要注意

8、量词的意义。全称命题为真命题，可转化不等式恒成立问题，特称命题为真可转化为不等式有解问题。15/15考向5存在性之常用模型及方法设函数，且．曲线在点处的切线的斜率为．（1）求的值；（2）若存在，使得，求的取值范围．【技能方法】解决函数中存在性问题常见方法有两种：一是直接法同上面所讲恒成立；二是间接法，先求其否定（恒成立），再求其否定补集即可解决