第23题函数中存在性与恒成立问题-2018原创精品之高中数学（理）黄金100题系列（原卷版）

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1、第23题函数中存在性与恒成立问题函数的内容作为高中数学知识体系的核心，也是历年高考的一个热点.在新课标下的高考越來越注重対学生的综合素质的考察，恒成立问题便是一个考察学生综合素质的很好途径，它主要涉及到一次函数、二次函数、三角函数、指数函数和对数函数等常见函数的图象和性质，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用.近几年的数学高考和各地的模考联考中频频出现存在性与恒成立问题，其形式逐渐多样化，但它们大都与函数、导数知识密不可分.解决高中数学函数的存在性与恒成立问题常用以下儿种方法：①

2、函数性质法；②分离参数法；③主参换位法；④数形结合法等.恒成立：关于兀的不等式介兀)20对于兀在某个范围内的每个值不等式都成立，就叫不等式在这个范围内恒成立.若函数/(%)在区间D上存在最小值/(x)min和最大值/(x)max,贝ij:①不等式/(%)>d在区间D上恒成立o/(x)min>a；②不等式/(X)>a在区间D上恒成立o/(x)min>ci:③不等式/(x)vb在区间D上恒成立o/(x)maxa

3、(或/(x)>a)在区间D上恒成立a；②不等式/(%)0,兀HO.对任意xe[1,2],都有/(x)>g(x)恒成立，求实数G的収值范围；2)已知两函数f(x)=x2,g(x)=-一加，对任意e[0,2],存在x2e[1,2],使得/(^)>^(^2),<2>求实数加的取值范I韦【例2】若不等式2x-l>m（x2-l）对满足—25加52的所有加都成立，求兀的范圉.【例3】对于满足p<2的所有实数”，求使不

4、等式x2+px+>2p-}-x恒成立的x的取值范围.二、分离参数法若所给的不等式能通•过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围.利用分离参数法来确定不等式/（x,A）>0（xgD,2为实参数）恒成立中参数2的取值范围的基本步骤：（1）将参数与变量分离，即化为g（/l）>/（x）（或g（/l）

5、例4】已知函数f（x）=ax+xx的图象在点兀=£（0为白然对数的底数）处的切线的斜率为3.（1）求实数Q的值；（2）若f（x）0成立，求实数R的取值范围.【例5】［2018浙江绍兴教学质量调测】对任意xeR不等式才+2x-an/恒成立，则实数a的取值范围是.【例6】己知函数fix)=nv?—fwc—1.(1)若对于兀丘尺，/U)<0恒成立，求实数加的取值范围；(2)若对于xE［l,3］,恒成立，求实数加的取值范围.三、主参换位法某些含参不等式恒成立问题，在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量，但函数

6、的最值却难以求出时，可考虑变换思维角度“反客为主”，即把习惯上的主元变与参数变量的“地位"交换一下,变个视角重新审查恒成立问题，往往可避免不必要的分类讨论或使问题降次、简化，起到“山穷水尽疑无路,柳暗花明又一村”的岀奇制胜的效果.【例7］已知函数/(gn(e+)(a为常数)是实数集R上的奇函数，函数g(x)=Af(x)+sinx是区间［-1,1］上的减函数,(I)求"的值；(11)若能)"+〃+1在送［-1,1］上恒成立,求『的取值范围.(节选)【例8】若不等式2x-l>m(x2-l)的所有—25/52都成立，则兀的取值范围.四、数形结合法

7、若所给不等式进行合理的变形化为f(x)>g(x)(或/(x)kf求实数比的取值范围.五、存在性之常用模型及方法若在区间D上存在实数兀使不等式/(兀)>£成立，则等价于在区间D上若在区间D上存在实数兀使不等式/(x)

8、/(x)inin*)在区间D上恒成立«>Dc{x

9、/(x)<^}^