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1、[等比数列的性质总结]等比数列的所有性质 等比数列的性质总结 1.等比数列的定义：2.通项公式：an=a1q n-1 anan-1 =q，q称为公比 = a1q q=A⋅B nn 首项：a1；公比：q 推广：an=amqn-m，从而得qn-m= 3.等比中项 anam 或q= n如果a,A,b成等比数列，那么A叫做a与b的等差中项．即：A2= ab或A= 注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个数列{an}是等比数列⇔an2=an-1⋅an+1 4.等比数列的前n项和Sn公式：当q=1时，Sn=na1 a1当q≠1时，Sn= )
2、=a1 a1-anq1-q n 1-q q=A-A⋅B=A"B-A" nn 5.等比数列的判定方法 用定义：对任意的n,都有an+1=qan或 an+1an =q⇔{an}为等比数列 2 等比中项：an=an+1an-1⇔{an}为等比数列 通项公式：an=A⋅B n ⇔ n {an}为等比数列 n 前n项和公式：Sn=A-A⋅B或Sn=A"B-A"⇔{an}为等比数列 6.等比数列的证明方法依据定义：若 anan-1 =q或a n+1 =qan⇔{an}为等比数列 7.注意 等比数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：a1、q、n
3、、an及Sn，其中a1、q称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。 n-1 为减少运算量，要注意设项的技巧，一般可设为通项；an=a1q 如奇数个数成等比，可设为…。 aq 2 , aq ；,a,aq,aq… 2 8.等比数列的性质当q≠1时 ①等比数列通项公式an=a1qn-1= a1是关于n的带有系数的类指数函数，底数为公比q ②前n项和Sn= ) = a1-a1q1-q n a11-q -q=A-A⋅B=A"B-A"，系数和常数项是互为相反 nnn 数的类指数函数，底数为公比q 对任何m,n∈N*,在
4、等比数列{an}中,有an=amqn-m,特别的,当m=1时,便得到等比数列的通项公式.因此,此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。 若m+n=s+t,则an⋅am=as⋅at.特别的,当n+m=2k时,得an⋅am=ak2注：a1⋅an=a2⋅an-1=a3an-2⋅⋅⋅列{an},{bn}为等比数列,则数列{列. 数列{an}为等比数列,每隔k项取出一项仍为等比数列如果{an}是各项均为正数的等比数列,则数列{logaan}是等差数列若{an}为等比数列,则数列Sn，S2n-Sn，S3n-S2n,⋅⋅⋅，成等比数列 若{an}为等比数列,则数列a1⋅a2⋅⋅⋅⋅⋅an,an+
5、1⋅an+2⋅⋅⋅⋅⋅a2n,a2n+1⋅a2n+2⋅⋅⋅⋅⋅⋅a3n成等比数列①当q>1时，②当0 kan ,{k⋅an},{an},{k⋅an⋅bn}{ k anbn 均为等比数 {a1 1 n 1 n a>0，则{a}为递增数列a>0，则{a}为递减数列 ③当q=1时,该数列为常数列;④当q 在等比数列{an}中,当项数为2n时, S奇S偶 =1q ,. 若{an}是公比为q的等比数列,则Sn+m=Sn+qn⋅Sm 注意：解决等比数列问题时，通常考虑两类方法： ①基本量法：即运用条件转化为关于a1和q的方程； ②巧妙运用等比数列的性质，一般地
6、运用性质可以化繁为简，减少运算量．
