初2103根式的恒等变形.docx

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1、第2103讲根式的恒等变形一、知识和方法要点表示方根的代数式称为根式，即含有根号，且根号内有字母的代数式称为根式。对于根式中的字母的一组允许的值，代入此根式得到的值称为根式的值。根式的恒等变形是指利用根式的基本性质将根式化为与其恒等的根式。二次根式具有以下基本性质1）(a)2a（a0）；aa02）a2

2、a

3、0a0；aa03）baca(bc)a（a0）；4）abab（a0，b0）；aa0，b0）；5）（abb6）(a)nan（a0）。根式的恒等变形有它的特殊性，需要较强的代数式变形技巧。通常要对题目中的条件根式和欲变形根式综合考虑，寻求一个简单而清晰运算线路进行变

4、形。常用的方法有：分解因式法，配方法，平方法，换元法等。化简根式必须化到最简根式为止，所谓最简根式，是指满足以下三个条件的根式：1）被开方数（式）的幂指数与根指数互质；2）被开方数（式）的每一个因式的幂指数都小于根指数；3）被开方数（式）不含有分母。二、典型题例选讲例1化简：4845。（复合根式化简；配方法）【分析】这是一个数字型的复合二次根式的化简问题。可通过配方法进行化简。应首先变形为适合配方的形式，然后进行配方。【解答】化简如下48453(415)43821543(53)243(53)43(106)。2(2)222【评注】配方法是复合二次根式化简的最常用的

5、方法。例2化简：2323322322。（复合根式化简；平方法）【分析】这是一个数字型的复合二次根式的化简问题。，可通过平方法进行化简。应前两项使用平方法，后两项使用平方法后相加。【解答】因为2323(2323)24223236，322322(322322)2623223222。两式相加得232332232262。所以，原式62。【评注】为了书写简洁，平方运算在根号下进行。.例3化简：2222。（复合根式化简；方程法）【分析】如果设x2222，两边平方可得关于x的方程x2x20，解这个方程就可能求出x的值。【解答】设x2222，两边平方，得x22222，于是x22

6、x，即x满足方程x2x20，解方程得x2或x1(舍去)。所以，22222。【评注】本题还涉及到2222是否收敛，即它是否表示一个实数的问题。例4设y是偶数，最简根式3xy2xy与y64xy2是同次根式，求y的值。（根式概念；分类讨论）【分析】首先利用偶次根式对根底数大于等于零（本题只能大于零）的要求，解得y的范围，然后讨论求得满足要求的y的值。【解答】由同次根式的意义，得3xyy6，知x2，于是给定根式为y64y与y66y，它们为偶次根式，于是4y0，6y0，推得y4，2，0，或2。1）当y4时，两个根式为8与2，其中8不是最简根式；2）当y2时，两个根式为46

7、与44，其中44不是最简根式；3）当y0时，两个根式为64与66，其中64不是最简根式；4）当y2时，两个根式为82与88，它们是最简根式，符合题意；所以，所求的y2。【评注】本题考察同次根式、最简根式等基本概念。例5已知1x0，化简：21x221x2x2x2。（根式化简；配方法）【分析】这是一个字母根式的化简问题。观察知，两个根底数都是完全平方式，而一个数平方再开根号等于这个数绝对值，然后根据已知给出的x的范围打开绝对值解决问题。【解答】化简如下原式(x1)2(x1)2

8、x1

9、

10、x1

11、(x1)(x1)2x。xxxxxx【评注】永远要记住平方再开根号等于绝对值。

12、例6设a，x，y是两两不同的实数，且a(xa)a(ya)xaay，求3x2xyy2的值。x2xyy2（根式求值；隐含条件）【分析】考虑到偶次根式的根底数大于或等于零的隐含条件，容易从条件式解出x，y的值，就可以代入欲求值代数式进行简单求值。【解答】因为a(xa)0，xa0知a0，a(ya)0，ay0知a0，由此得a0。于是xyxy。所以，原式3y2y2y2y21。y2y2y23y23【评注】从偶次根式的根底数大于或等于零的隐含条件得到解题所需的中间结果。.5x5x例7设5x5，且x0，化简：5x5x。5x5x5x5x（根式化简；分式性质）【分析】观察欲化简根式的

13、特点，注意到5x与5x都是正数，且互为倒数，采用将此根式的分子、分母5x5x同乘上5x即可一次性去掉根号解决问题。5x【解答】化简如下5x(5x5x)5x1原式5x5x5x5x5x5x5x5x15x(5x5x)5x(5x)(5x)105。(5x)(5x)2xx【评注】采用分母有理化解题将比较烦琐。例8已知ab0，且a2b222，化简：a11b11。aba2b2（根式化简；分式性质）【分析】观察所给条件式与欲化简式的特点，利用条件式首先可将欲化简式的根底数化简，这时问题就简单化了。解：由a2b2a22111，即111111b得a2b2a22，2a2，所以bb原式1

14、b1a2a2bab

15、b

16、