第六节行列式按行(列)展开.ppt

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1、余子式和代数余子式主要内容引理行列式按行(列)展开法则第六节行列式按行(列)展开三阶行列式的几何意义行列式的计算方法决这个问题,先学习余子式和代数余子式的概念.一般来说,低阶行列式的计算比高阶行列式的计算要简便,于是,自然地考虑用低阶行列式来表示高阶行列式的问题.本节我们要解决的问题是,如何把高阶行列式降为低阶行列式,从而把高阶行列式的计算转化为低阶行列式的计算.为了解一、余子式和代数余子式Aij叫做元素aij的代数余子式.定义在n阶行列式中,把元素aij所在的第i行和第j列划去后,剩下的元素按它们在原行列式中的相对位置组成的n–1阶行列式叫做元素aij的余

2、子式,记作Mij；Aij=(–1)i+jMij,记D=aijAij.二、引理一个n阶行列式,如果其中第i行所有元素除aij外都为0,那么这行列式等于aij与它的代数余子式的乘积,即或D=a1jA1j+a2jA2j+···+anjAnj(j=1,2,···,n).三、行列式按行(列)展开法则定理3行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,即D=ai1Ai1+ai2Ai2+···+ainAin(i=1,2,···,n),这个定理叫做行列式按行（列）展开法则.例任意输入一个三阶或四阶行列式，利用行列式按行（列）展开法则计算.例12行列式称为n

3、阶范德蒙德(Vandermonde)行列式.证明由还可得下述重要推论.推论行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.即ai1Aj1+ai2Aj2+···+ainAjn=0,ij,或a1iA1j+a2iA2j+···+aniAnj=0,ij.综合及其推论，有关于代数余子式的重要性质：或其中仿照上述推论证明中所用的方法，在行列式det(aij)按第i行展开的展开式中，用b1,b2,···,bn依次代替ai1,ai2,···,ain，可得类似地，用b1,b2,···,bn代替det(aij)中的第j列，可得例13设D的（i,j

4、）元的余子式和代数余子式依次记作Mij和Aij，求A11+A12+A13+A14及M11+M21+M31+M41.1.直接用定义计算;2.利用性质化为三角形行列式;3.利用展开式定理降阶.五、行列式的计算方法到现在为止,我们已能计算任意阶的行列式.行列式的计算是我们这一章的重点,也是同学们必须掌握的基本技能.行列式有以下三种计算方法:行列式时,应根据实际情况灵活选择计算方法.行列式的计算在这三种方法中,方法1主要用于理论分析,很少用来计算具体的行列式,但对于低阶行列式(如二阶、三阶)或有很多零元素的高阶行列式,有时也可用此方法来计算;方法2适用于行列式的阶不

5、确定的高阶行列式的计算;方法3主要用于阶为已知的高阶行列式的计算.当然在计算一个下面看几个例子.下面再举几个n阶行列式计算的例子.例设证明递推关系式Dn=nDn-1-n-1n-1Dn-2(n>2).关系式在计算数学中常被引用.Dn是常见的n阶三对角行列式,所证的递推例计算n阶行列式例计算n阶行列式本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想

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